Cálculo Ejemplos

$x^{2} - 10 x \leq - 9$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 10 x = - 9$

Paso 2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 10 x + 9$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 9, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 5.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 9) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 9, 1$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$1 < x < 9$

$x > 9$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 10 \cdot 0 \leq - 9$

Paso 9.1.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

${(5)}^{2} - 10 \cdot 5 \leq - 9$

Paso 9.2.3

$- 25$ del lado izquierdo es menor que $- 9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

${(12)}^{2} - 10 \cdot 12 \leq - 9$

Paso 9.3.3

$24$ del lado izquierdo es mayor que $- 9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 \leq x \leq 9$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$1 \leq x \leq 9$

Notación de intervalo:

$[1, 9]$

Paso 12

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