Cálculo Ejemplos

$x^{2} - 4 x - 12 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 4 x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 2$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 6$

$x > 6$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0$

Paso 8.1.3

$20$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0$

Paso 8.2.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0$

Paso 8.3.3

$20$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 < x < 6$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 < x < 6$

Notación de intervalo:

$(- 2, 6)$

Paso 11

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