Cálculo Ejemplos

$\frac{5 x - 4}{x^{2} - x - 2}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.2

Divide $5 x - 4$ por $1$ .

$5 x - 4 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$5 x - 4 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$5 x - 4 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x - 4 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x - 2)$ por $1$ .

$5 x - 4 = A x + A + (B) (x - 2)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x - 4 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

Paso 1.7.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$5 x - 4 = A x + A + B x - 2 B$

Paso 1.8

Mueve $A$ .

$5 x - 4 = A x + B x + A - 2 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 4 = A - 2 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $5 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 4 = A - 2 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $5 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 4 = A - 2 B$ por $5 - B$ .

$- 4 = (5 - B) - 2 B$

$A = 5 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Resta $2 B$ de $- B$ .

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $- 4 = 5 - 3 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $5 - 3 B = - 4$ .

$5 - 3 B = - 4$

$A = 5 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 B = - 4 - 5$

$A = 5 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 3 B = - 9$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 3 B = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $- 9$ por $- 3$ .

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 5 - B$ por $3$ .

$A = 5 - (3)$

$B = 3$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $5 - (3)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$A = 5 - 3$

$B = 3$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $3$ de $5$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = 3$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}$

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