Ejemplos
S([abc])=[a-3b-3c3a-b-3ca-b+c]S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣a−3b−3c3a−b−3ca−b+c⎤⎥⎦
Paso 1
La transformación define un mapa de ℝ3 a ℝ3. Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.
S: ℝ3→ℝ3
Paso 2
Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Paso 3
Establece dos matrices para comprobar que S conserva la propiedad de la suma.
S([x1x2x3]+[y1y2y3])
Paso 4
Suma las dos matrices.
S[x1+y1x2+y2x3+y3]
Paso 5
Aplica la transformación al vector.
S(x+y)=[x1+y1-3(x2+y2)-3(x3+y3)3(x1+y1)-(x2+y2)-3(x3+y3)x1+y1-(x2+y2)+x3+y3]
Paso 6
Paso 6.1
Reorganiza x1+y1-3(x2+y2)-3(x3+y3).
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33(x1+y1)-(x2+y2)-3(x3+y3)x1+y1-(x2+y2)+x3+y3]
Paso 6.2
Reorganiza 3(x1+y1)-(x2+y2)-3(x3+y3).
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33x1-x2-3x3+3y1-y2-3y3x1+y1-(x2+y2)+x3+y3]
Paso 6.3
Reorganiza x1+y1-(x2+y2)+x3+y3.
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33x1-x2-3x3+3y1-y2-3y3x1-x2+x3+y1-y2+y3]
S(x+y)=[x1-3x2-3x3+y1-3y2-3y33x1-x2-3x3+3y1-y2-3y3x1-x2+x3+y1-y2+y3]
Paso 7
Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.
S(x+y)=[x1-3x2-3x33x1-x2-3x3x1-x2+x3]+[y1-3y2-3y33y1-y2-3y3y1-y2+y3]
Paso 8
La propiedad de la suma de la transformación se mantiene verdadera.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Paso 9
Para que una transformación sea lineal, debe mantener la multiplicación escalar.
S(px)=T(p[abc])
Paso 10
Paso 10.1
Multiplica p por cada elemento en la matriz.
S(px)=S([papbpc])
Paso 10.2
Aplica la transformación al vector.
S(px)=[(pa)-3(pb)-3(pc)3((pa)-(pb)-3(pc))(pa)-(pb)+pc]
Paso 10.3
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 10.3.1
Reorganiza (pa)-3(pb)-3(pc).
S(px)=[ap-3bp-3cp3((pa)-(pb)-3(pc))(pa)-(pb)+pc]
Paso 10.3.2
Reorganiza 3((pa)-(pb)-3(pc)).
S(px)=[ap-3bp-3cp3ap-3bp-9cp(pa)-(pb)+pc]
Paso 10.3.3
Reorganiza (pa)-(pb)+pc.
S(px)=[ap-3bp-3cp3ap-3bp-9cpap-1bp+cp]
S(px)=[ap-3bp-3cp3ap-3bp-9cpap-1bp+cp]
Paso 10.4
Factoriza cada elemento de la matriz.
Paso 10.4.1
Factoriza el elemento 0,0 mediante la multiplicación de ap-3bp-3cp.
S(px)=[p(a-3b-3c)3ap-3bp-9cpap-1bp+cp]
Paso 10.4.2
Factoriza el elemento 1,0 mediante la multiplicación de 3ap-3bp-9cp.
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)ap-1bp+cp]
Paso 10.4.3
Factoriza el elemento 2,0 mediante la multiplicación de ap-1bp+cp.
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)p(a-b+c)]
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)p(a-b+c)]
S(px)=[p(a-3b-3c)p(3a-3b-9c)p(a-b+c)]
Paso 11
La segunda propiedad de las transformaciones lineales se conserva en esta transformación.
S(p[abc])=pS(x)
Paso 12
Para que la transformación sea lineal, se debe conservar el vector cero.
S(0)=0
Paso 13
Aplica la transformación al vector.
S(0)=[(0)-3⋅0-3⋅03(0)-(0)-3⋅0(0)-(0)+0]
Paso 14
Paso 14.1
Reorganiza (0)-3⋅0-3⋅0.
S(0)=[03(0)-(0)-3⋅0(0)-(0)+0]
Paso 14.2
Reorganiza 3(0)-(0)-3⋅0.
S(0)=[00(0)-(0)+0]
Paso 14.3
Reorganiza (0)-(0)+0.
S(0)=[000]
S(0)=[000]
Paso 15
La transformación conserva el vector cero.
S(0)=0
Paso 16
Como las tres propiedades de las transformaciones lineales no se cumplen, esta no es una transformación lineal.
Transformación lineal