Ejemplos

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x + 6$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Paso 2.5.3

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 4

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 6$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 6$

Paso 7

Obtén el dominio de $\frac{x + 6}{x}$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{x + 6}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Paso 9.1.3

$1.25$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Paso 9.3.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 < x < 0$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 6 < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- 6, 0)$

Paso 12

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