Ejemplos

4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0$

Paso 1

Suma

11

$11$ a ambos lados de la ecuación.

4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$

Paso 2

Completa el cuadrado de

4 x^{2} - 16 x

$4 x^{2} - 16 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = - 16

$b = - 16$

c = 0

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de

- 16

$- 16$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

- 16

$- 16$ .

d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de

$- 8$ y

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Factoriza

$4$ de

$- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza

$4$ de

$4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide

$- 2$ por

$1$ .

$d = - 2$

Paso 2.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Eleva

$- 16$ a la potencia de

$2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide

$256$ por

$16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 2.4.2.2

Resta

$16$ de

$0$ .

$e = - 16$

Paso 2.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Paso 3

Sustituye

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ por

$4 x^{2} - 16 x$ en la ecuación

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 18 y = 11$

Paso 4

Mueve

$- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

$16$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y = 11 + 16$

Paso 5

Completa el cuadrado de

$9 y^{2} - 18 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa la forma

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de

$d$ con la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de

$- 18$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Factoriza

$2$ de

$- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 9}{9}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de

$- 9$ y

$9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Factoriza

$9$ de

$- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza

$9$ de

$9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide

$- 1$ por

$1$ .

$d = - 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Eleva

$- 18$ a la potencia de

$2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide

$324$ por

$36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 5.4.2.2

Resta

$9$ de

$0$ .

$e = - 9$

Paso 5.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$

Paso 6

Sustituye

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$ por

$9 y^{2} - 18 y$ en la ecuación

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} - 9 = 11 + 16$

Paso 7

Mueve

$- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

$9$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 11 + 16 + 9$

Paso 8

Simplifica

$11 + 16 + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Suma

$11$ y

$16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 27 + 9$

Paso 8.2

Suma

$27$ y

$9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 36$

Paso 9

Divide cada término por

$36$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

$1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

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