Ejemplos

y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Factoriza

x^{2} + 3 x - 4

$x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

c

$c$ y cuya suma sea

b

$b$ . En este caso, cuyo producto es

- 4

$- 4$ y cuya suma es

3

$3$ .

- 1, 4

$- 1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

Paso 2

Factoriza

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = x

$a = x$ y

b = 1

$b = 1$ .

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de

x - 1

$x - 1$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x - 1$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a

$0$ , resuelve y vuelve a sustituir por

$\frac{x + 4}{x + 1}$ .

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Paso 5.1

Establece

$x - 1$ igual a

$0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2

Suma

$1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.3

Sustituye

$1$ por

$x$ en

$\frac{x + 4}{x + 1}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye

$1$ por

$x$ para obtener la coordenada

$y$ del hueco.

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Suma

$1$ y

$4$ .

$\frac{5}{1 + 1}$

Paso 5.3.2.2

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a

$0$ .

$(1, \frac{5}{2})$

Paso 6

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