Ejemplos

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan una variable al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $52$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Paso 1.2

Resta $52$ de $3$ .

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Paso 2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Paso 3

Sustituye $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ por $4 x^{2} + 8 x$ en la ecuación $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Paso 4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Paso 5

Completa el cuadrado de $9 y^{2} + 54 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $54$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{27}{9}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $27$ y $9$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 5.4.2.2

Resta $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Paso 6

Sustituye $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ por $9 y^{2} + 54 y$ en la ecuación $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Paso 7

Mueve $- 81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Paso 8

Simplifica $- 49 + 4 + 81$ .

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Paso 8.1

Suma $- 49$ y $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Paso 8.2

Suma $- 45$ y $81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Paso 9

Divide cada término por $36$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

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