Álgebra Ejemplos

$\begin{array}{c} x & q (x) \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{array}$

Paso 1

Comprueba si la regla de la función es lineal.

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Paso 1.1

Para determinar si la tabla sigue una regla de la función, comprueba si los valores siguen la forma lineal $y = a x + b$ .

$y = a x + b$

Paso 1.2

Construye un conjunto de ecuaciones a partir de la tabla de modo que $q (x) = a x + b$ .

$1 = a (1) + b 2 = a (2) + b 3 = a (3) + b 4 = a (4) + b$

Paso 1.3

Calcula los valores de $a$ y $b$ .

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Paso 1.3.1

Resuelve $a$ en $1 = a + b$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $a + b = 1$ .

$a + b = 1$

$2 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.1.2

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 1 - b$

$2 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

$a = 1 - b$

$2 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $a$ por $1 - b$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $2 = a (2) + b$ por $1 - b$ .

$2 = (1 - b) (2) + b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $(1 - b) (2) + b$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = 1 \cdot 2 - b \cdot 2 + b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 = 2 - b \cdot 2 + b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 = 2 - 2 b + b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

$2 = 2 - 2 b + b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.2.1.2

Suma $- 2 b$ y $b$ .

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$3 = a (3) + b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $a$ en $3 = a (3) + b$ por $1 - b$ .

$3 = (1 - b) (3) + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Simplifica $(1 - b) (3) + b$ .

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Paso 1.3.2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 = 1 \cdot 3 - b \cdot 3 + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.4.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 = 3 - b \cdot 3 + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.4.1.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 = 3 - 3 b + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

$3 = 3 - 3 b + b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.4.1.2

Suma $- 3 b$ y $b$ .

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = a (4) + b$

Paso 1.3.2.5

Reemplaza todos los casos de $a$ en $4 = a (4) + b$ por $1 - b$ .

$4 = (1 - b) (4) + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.2.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.6.1

Simplifica $(1 - b) (4) + b$ .

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Paso 1.3.2.6.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = 1 \cdot 4 - b \cdot 4 + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.2.6.1.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 = 4 - b \cdot 4 + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.2.6.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 = 4 - 4 b + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = 4 - 4 b + b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.2.6.1.2

Suma $- 4 b$ y $b$ .

$4 = 4 - 3 b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = 4 - 3 b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = 4 - 3 b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$4 = 4 - 3 b$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3

Resuelve $b$ en $4 = 4 - 3 b$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $4 - 3 b = 4$ .

$4 - 3 b = 4$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 b = 4 - 4$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$- 3 b = 0$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$- 3 b = 0$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 3 b = 0$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 3 b = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 b}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 b}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{0}{- 3}$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$b = \frac{0}{- 3}$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$b = \frac{0}{- 3}$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $0$ por $- 3$ .

$b = 0$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$3 = 3 - 2 b$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $b$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $3 = 3 - 2 b$ por $0$ .

$3 = 3 - 2 \cdot 0$

$b = 0$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $3 - 2 \cdot 0$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$3 = 3 + 0$

$b = 0$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.4.2.1.2

Suma $3$ y $0$ .

$3 = 3$

$b = 0$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$3 = 3$

$b = 0$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

$3 = 3$

$b = 0$

$2 = 2 - b$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $b$ en $2 = 2 - b$ por $0$ .

$2 = 2 - (0)$

$3 = 3$

$b = 0$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.4.1

Resta $0$ de $2$ .

$2 = 2$

$3 = 3$

$b = 0$

$a = 1 - b$

$2 = 2$

$3 = 3$

$b = 0$

$a = 1 - b$

Paso 1.3.4.5

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = 1 - b$ por $0$ .

$a = 1 - (0)$

$2 = 2$

$3 = 3$

$b = 0$

Paso 1.3.4.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.6.1

Resta $0$ de $1$ .

$a = 1$

$2 = 2$

$3 = 3$

$b = 0$

$a = 1$

$2 = 2$

$3 = 3$

$b = 0$

$a = 1$

$2 = 2$

$3 = 3$

$b = 0$

Paso 1.3.5

Elimina del sistema las ecuaciones que siempre son verdaderas.

$a = 1$

$b = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$a = 1, b = 0$

Paso 1.4

Calcula el valor de $y$ con cada valor de $x$ en la relación y compara este valor con el valor de $q (x)$ dado en la relación.

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Paso 1.4.1

Calcula el valor de $y$ cuando $a = 1$ , $b = 0$ y $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = 1 + 0$

Paso 1.4.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$y = 1$

Paso 1.4.2

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = q (x)$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = 1$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 1$ y $q (x) = 1$ .

$1 = 1$

Paso 1.4.3

Calcula el valor de $y$ cuando $a = 1$ , $b = 0$ y $x = 2$ .

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 + 0$

Paso 1.4.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$y = 2$

Paso 1.4.4

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = q (x)$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = 2$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 2$ y $q (x) = 2$ .

$2 = 2$

Paso 1.4.5

Calcula el valor de $y$ cuando $a = 1$ , $b = 0$ y $x = 3$ .

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Paso 1.4.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = 3 + 0$

Paso 1.4.5.2

Suma $3$ y $0$ .

$y = 3$

Paso 1.4.6

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = q (x)$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = 3$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 3$ y $q (x) = 3$ .

$3 = 3$

Paso 1.4.7

Calcula el valor de $y$ cuando $a = 1$ , $b = 0$ y $x = 4$ .

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Paso 1.4.7.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$y = 4 + 0$

Paso 1.4.7.2

Suma $4$ y $0$ .

$y = 4$

Paso 1.4.8

Si la tabla tiene una regla de la función lineal, $y = q (x)$ para el valor correspondiente de $x$ , $x = 4$ . Esta comprobación pasa, ya que $y = 4$ y $q (x) = 4$ .

$4 = 4$

Paso 1.4.9

Como $y = q (x)$ para los valores $x$ correspondientes, la función es lineal.

La función es lineal.

Paso 2

Como todas $y = q (x)$ , la función es lineal y sigue la forma $y = x$ .

$y = x$

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