Álgebra Ejemplos

[\begin{matrix} 6 & 8 2 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Paso 1

La inversa de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que

a d - b c

$a d - b c$ es el determinante.

Paso 2

Obtén el determinante.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

6 \cdot 5 - 2 \cdot 8

$6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

6

$6$ por

5

$5$ .

30 - 2 \cdot 8

$30 - 2 \cdot 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

8

$8$ .

30 - 16

$30 - 16$

30 - 16

$30 - 16$

Paso 2.2.2

Resta

16

$16$ de

30

$30$ .

14

$14$

14

$14$

14

$14$

Paso 3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

\frac{1}{14} [\begin{matrix} 5 & - 8 - 2 & 6 \end{matrix}]

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 5 & - 8 \\ - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} \frac{1}{14} \cdot 5 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 5 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Combina

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ y

5

$5$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza

2

$2$ de

14

$14$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2.2

Factoriza

2

$2$ de

- 8

$- 8$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.3

Combina

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ y

- 4

$- 4$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & \frac{- 4}{7} \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{- 4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza

2

$2$ de

14

$14$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \frac{1}{2 (7)} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 (7)} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5.2

Factoriza

2

$2$ de

- 2

$- 2$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{7} \cdot - 1 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.6

Combina

$\frac{1}{7}$ y

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{- 1}{7} & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.8

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza

$2$ de

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.8.2

Factoriza

$2$ de

$6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Paso 6.8.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Paso 6.8.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.9

Combina

$\frac{1}{7}$ y

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{array}]$

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