Álgebra Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 0 & 1 2 & 4 & 4 4 & 4 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos

0

$0$ . Si no hay elementos

0

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

1

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

-

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento

a_{11}

$a_{11}$ por su cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de

a_{12}

$a_{12}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento

a_{12}

$a_{12}$ por su cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de

a_{13}

$a_{13}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento

a_{13}

$a_{13}$ por su cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica

0

$0$ por

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (4 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica

4

$4$ por

3

$3$ .

3 (12 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (12 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

4

$4$ .

3 (12 - 16) + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 (12 - 16) + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta

16

$16$ de

12

$12$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 4)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 4)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

4

$4$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 4 \cdot 4)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 4 \cdot 4)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

4

$4$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)$

Paso 4.2.2

Resta

16

$16$ de

8

$8$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica

3

$3$ por

- 4

$- 4$ .

- 12 + 0 + 1 \cdot - 8

$- 12 + 0 + 1 \cdot - 8$

Paso 5.1.2

Multiplica

- 8

$- 8$ por

1

$1$ .

- 12 + 0 - 8

$- 12 + 0 - 8$

- 12 + 0 - 8

$- 12 + 0 - 8$

Paso 5.2

Suma

- 12

$- 12$ y

0

$0$ .

- 12 - 8

$- 12 - 8$

Paso 5.3

Resta

$8$ de

$- 12$ .

$- 20$

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