Álgebra Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 3 & 1 3 & 2 & 1 4 & 3 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos

0

$0$ . Si no hay elementos

0

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

1

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

-

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento

a_{11}

$a_{11}$ por su cofactor.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de

a_{12}

$a_{12}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento

a_{12}

$a_{12}$ por su cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de

a_{13}

$a_{13}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento

a_{13}

$a_{13}$ por su cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 2

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

4

$4$ .

4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- 3

$- 3$ por

1

$1$ .

4 (8 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 (8 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Resta

3

$3$ de

8

$8$ .

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

4

$4$ .

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta

4

$4$ de

12

$12$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

3

$3$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

2

$2$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

Paso 4.2.2

Resta

8

$8$ de

9

$9$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica

4

$4$ por

5

$5$ .

20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Paso 5.1.2

Multiplica

- 3

$- 3$ por

8

$8$ .

20 - 24 + 1 \cdot 1

$20 - 24 + 1 \cdot 1$

Paso 5.1.3

Multiplica

1

$1$ por

1

$1$ .

20 - 24 + 1

$20 - 24 + 1$

20 - 24 + 1

$20 - 24 + 1$

Paso 5.2

Resta

24

$24$ de

20

$20$ .

- 4 + 1

$- 4 + 1$

Paso 5.3

Suma

- 4

$- 4$ y

1

$1$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

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