Álgebra Ejemplos

f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ . Si

a

$a$ es positiva, el valor mínimo de la función es

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{mín.}

$f_{mín.}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ .

x = - \frac{5}{2 (2)}

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

x = - \frac{5}{2 (2)}

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Paso 2.3

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

x = - \frac{5}{4}

$x = - \frac{5}{4}$

x = - \frac{5}{4}

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 3

Evalúa

f (- \frac{5}{4})

$f (- \frac{5}{4})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

- \frac{5}{4}

$- \frac{5}{4}$ en la expresión.

f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a

- \frac{5}{4}

$- \frac{5}{4}$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.2

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.3

Multiplica

\frac{5^{2}}{4^{2}}

$\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por

1

$1$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.4

Eleva

5

$5$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.5

Eleva

4

$4$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza

2

$2$ de

16

$16$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.7

Multiplica

5 (- \frac{5}{4})

$5 (- \frac{5}{4})$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6$

Paso 3.2.1.7.2

Combina

- 5

$- 5$ y

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6$

Paso 3.2.1.7.3

Multiplica

- 5

$- 5$ por

5

$5$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

Paso 3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica

\frac{25}{4}

$\frac{25}{4}$ por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Paso 3.2.2.2

Multiplica

\frac{25}{4}

$\frac{25}{4}$ por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

Paso 3.2.2.3

Escribe

- 6

$- 6$ como una fracción con el denominador

1

$1$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica

\frac{- 6}{1}

$\frac{- 6}{1}$ por

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica

\frac{- 6}{1}

$\frac{- 6}{1}$ por

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.6

Reordena los factores de

4 \cdot 2

$4 \cdot 2$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.7

Multiplica

2

$2$ por

4

$4$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica

- 25

$- 25$ por

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica

- 6

$- 6$ por

8

$8$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta

50

$50$ de

25

$25$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}$

Paso 3.2.5.2

Resta

48

$48$ de

- 25

$- 25$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$ .

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$

Paso 4

Usa los valores

x

$x$ y

y

$y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})

$(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})$

Paso 5

Ingresa TU problema