Álgebra Ejemplos

f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ . Si

a

$a$ es positiva, el valor mínimo de la función es

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{mín.}

$f_{mín.}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ .

x = - \frac{- 5}{2 (5)}

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

x = - \frac{- 5}{2 (5)}

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Paso 2.3

Simplifica

- \frac{- 5}{2 (5)}

$- \frac{- 5}{2 (5)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de

- 5

$- 5$ y

5

$5$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza

5

$5$ de

- 5

$- 5$ .

x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza

5

$5$ de

2 \cdot 5

$2 \cdot 5$ .

x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3

Multiplica

$- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3

Evalúa

$f (\frac{1}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a

$\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 3.2.1.3

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 3.2.1.4

Combina

$5$ y

$\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 3.2.1.5

Combina

$- 5$ y

$\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

Paso 3.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica

$\frac{5}{2}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Paso 3.2.2.2

Multiplica

$\frac{5}{2}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

Paso 3.2.2.3

Escribe

$1$ como una fracción con el denominador

$1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica

$\frac{1}{1}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica

$\frac{1}{1}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica

$- 5$ por

$2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

Paso 3.2.4.2

Resta

$10$ de

$5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Paso 3.2.4.3

Suma

$- 5$ y

$4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.2.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Paso 3.2.5

La respuesta final es

$- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 4

Usa los valores

$x$ y

$y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Paso 5

Ingresa TU problema