Álgebra Ejemplos

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

Paso 1

Factoriza

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , donde

p

$p$ es un factor de la constante y

q

$q$ es un factor del coeficiente principal.

p = \pm 1, \pm 9, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

\pm 1, \pm 9, \pm 3

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Paso 1.3

Sustituye

3

$3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a

0

$0$ , por lo que

3

$3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye

3

$3$ en el polinomio.

3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Paso 1.3.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

3

$3$ .

27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Paso 1.3.3

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

Paso 1.3.4

Multiplica

- 6

$- 6$ por

9

$9$ .

27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

Paso 1.3.5

Resta

54

$54$ de

27

$27$ .

- 27 + 12 \cdot 3 - 9

$- 27 + 12 \cdot 3 - 9$

Paso 1.3.6

Multiplica

12

$12$ por

3

$3$ .

- 27 + 36 - 9

$- 27 + 36 - 9$

Paso 1.3.7

Suma

- 27

$- 27$ y

36

$36$ .

9 - 9

$9 - 9$

Paso 1.3.8

Resta

9

$9$ de

9

$9$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 1.4

Como

3

$3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por

x - 3

$x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

Paso 1.5

Divide

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ por

x - 3

$x - 3$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de

0

$0$ .

x

$x$

3

$3$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

9

$9$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo

x^{3}

$x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

x^{3} - 3 x^{2}

$x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

- 3 x^{2} + 9 x

$- 3 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo

3 x

$3 x$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

3 x - 9

$3 x - 9$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$
										$0$ $0$

Paso 1.5.16

Since the remainder is

0

$0$ , the final answer is the quotient.

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

Paso 1.6

Escribe

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ como un conjunto de factores.

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

Paso 2

Como el polinomio se puede factorizar, no es primo.

No es primo

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