Álgebra Ejemplos
A=[350750110]A=⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
Paso 1
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica p(λ)p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI3)p(λ)=determinante(A−λI3)
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño 33 es la matriz cuadrada 3×33×3 con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en p(λ)=determinante(A-λI3)p(λ)=determinante(A−λI3).
Paso 1.3.1
Sustituye [350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦ por AA.
p(λ)=determinante([350750110]-λI3)p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
Paso 1.3.2
Sustituye [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦ por I3I3.
p(λ)=determinante([350750110]-λ[100010001])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([350750110]-λ[100010001])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4
Simplifica.
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Paso 1.4.1.1
Multiplica -λ−λ por cada elemento de la matriz.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.4.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000λ−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.4.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.5
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.6
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.6.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Paso 1.4.1.2.6.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.7
Multiplica -λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.7.1
Multiplica 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.7.2
Multiplica 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.8
Multiplica -λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.8.1
Multiplica 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.8.2
Multiplica 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.9
Multiplica -1 por 1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
p(λ)=determinante[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Paso 1.4.3
Simplifica cada elemento.
Paso 1.4.3.1
Suma 5 y 0.
p(λ)=determinante[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Paso 1.4.3.2
Suma 0 y 0.
p(λ)=determinante[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]
Paso 1.4.3.3
Suma 7 y 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]
Paso 1.4.3.4
Suma 0 y 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ01+01+00-λ]
Paso 1.4.3.5
Suma 1 y 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011+00-λ]
Paso 1.4.3.6
Suma 1 y 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ0110-λ]
Paso 1.4.3.7
Resta λ de 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011-λ]
Paso 1.5
Obtén el determinante.
Paso 1.5.1
Elige la fila o columna con más elementos 0. Si no hay elementos 0, elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna 3 por su cofactor y suma.
Paso 1.5.1.1
Considera el cuadro de signos correspondiente.
|+-+-+-+-+|
Paso 1.5.1.2
El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición - en el cuadro de signos.
Paso 1.5.1.3
El elemento menor de a13 es la determinante con la fila 1 y la columna 3 borradas.
|75-λ11|
Paso 1.5.1.4
Multiplica el elemento a13 por su cofactor.
0|75-λ11|
Paso 1.5.1.5
El elemento menor de a23 es la determinante con la fila 2 y la columna 3 borradas.
|3-λ511|
Paso 1.5.1.6
Multiplica el elemento a23 por su cofactor.
0|3-λ511|
Paso 1.5.1.7
El elemento menor de a33 es la determinante con la fila 3 y la columna 3 borradas.
|3-λ575-λ|
Paso 1.5.1.8
Multiplica el elemento a33 por su cofactor.
-λ|3-λ575-λ|
Paso 1.5.1.9
Suma los términos juntos.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Paso 1.5.2
Multiplica 0 por |75-λ11|.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Paso 1.5.3
Multiplica 0 por |3-λ511|.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|
Paso 1.5.4
Evalúa |3-λ575-λ|.
Paso 1.5.4.1
El determinante de una matriz 2×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2
Simplifica el determinante.
Paso 1.5.4.2.1
Simplifica cada término.
Paso 1.5.4.2.1.1
Expande (3-λ)(5-λ) con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Paso 1.5.4.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
Paso 1.5.4.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Paso 1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplica 3 por 5.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplica -1 por 3.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplica 5 por -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplica λ por λ sumando los exponentes.
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mueve λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplica λ por λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplica -1 por -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplica λ2 por 1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.2.2
Resta 5λ de -3λ.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
Paso 1.5.4.2.1.3
Multiplica -7 por 5.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
Paso 1.5.4.2.2
Resta 35 de 15.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)
Paso 1.5.4.2.3
Reordena -8λ y λ2.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
Paso 1.5.5
Simplifica el determinante.
Paso 1.5.5.1
Combina los términos opuestos en 0+0-λ(λ2-8λ-20).
Paso 1.5.5.1.1
Suma 0 y 0.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)
Paso 1.5.5.1.2
Resta λ(λ2-8λ-20) de 0.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
Paso 1.5.5.2
Aplica la propiedad distributiva.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20
Paso 1.5.5.3
Simplifica.
Paso 1.5.5.3.1
Multiplica λ por λ2 sumando los exponentes.
Paso 1.5.5.3.1.1
Mueve λ2.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Paso 1.5.5.3.1.2
Multiplica λ2 por λ.
Paso 1.5.5.3.1.2.1
Eleva λ a la potencia de 1.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Paso 1.5.5.3.1.2.2
Usa la regla de la potencia aman=am+n para combinar exponentes.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
Paso 1.5.5.3.1.3
Suma 2 y 1.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
Paso 1.5.5.3.2
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20
Paso 1.5.5.3.3
Multiplica -20 por -1.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
Paso 1.5.5.4
Simplifica cada término.
Paso 1.5.5.4.1
Multiplica λ por λ sumando los exponentes.
Paso 1.5.5.4.1.1
Mueve λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λ
Paso 1.5.5.4.1.2
Multiplica λ por λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
Paso 1.5.5.4.2
Multiplica -1 por -8.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a 0 para obtener los valores propios λ.
-λ3+8λ2+20λ=0
Paso 1.7
Resuelve λ
Paso 1.7.1
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
Paso 1.7.1.1
Factoriza -λ de -λ3+8λ2+20λ.
Paso 1.7.1.1.1
Factoriza -λ de -λ3.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
Paso 1.7.1.1.2
Factoriza -λ de 8λ2.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0
Paso 1.7.1.1.3
Factoriza -λ de 20λ.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0
Paso 1.7.1.1.4
Factoriza -λ de -λ(λ2)-λ(-8λ).
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0
Paso 1.7.1.1.5
Factoriza -λ de -λ(λ2-8λ)-λ(-20).
-λ(λ2-8λ-20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0
Paso 1.7.1.2
Factoriza.
Paso 1.7.1.2.1
Factoriza λ2-8λ-20 con el método AC.
Paso 1.7.1.2.1.1
Considera la forma x2+bx+c. Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea c y cuya suma sea b. En este caso, cuyo producto es -20 y cuya suma es -8.
-10,2
Paso 1.7.1.2.1.2
Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.
-λ((λ-10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0
Paso 1.7.1.2.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
Paso 1.7.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a 0.
λ=0
λ-10=0
λ+2=0
Paso 1.7.3
Establece λ igual a 0.
λ=0
Paso 1.7.4
Establece λ-10 igual a 0 y resuelve λ.
Paso 1.7.4.1
Establece λ-10 igual a 0.
λ-10=0
Paso 1.7.4.2
Suma 10 a ambos lados de la ecuación.
λ=10
λ=10
Paso 1.7.5
Establece λ+2 igual a 0 y resuelve λ.
Paso 1.7.5.1
Establece λ+2 igual a 0.
λ+2=0
Paso 1.7.5.2
Resta 2 de ambos lados de la ecuación.
λ=-2
λ=-2
Paso 1.7.6
La solución final comprende todos los valores que hacen -λ(λ-10)(λ+2)=0 verdadera.
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
Paso 2
El vector propio es igual al espacio nulo de la matriz menos la cantidad de veces del valor propio de la matriz de identidades en donde N es el espacio nulo y I es la matriz de identidades.
εA=N(A-λI3)
Paso 3
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([350750110]+0[100010001])
Paso 3.2
Simplifica.
Paso 3.2.1
Simplifica cada término.
Paso 3.2.1.1
Multiplica 0 por cada elemento de la matriz.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 3.2.1.2.1
Multiplica 0 por 1.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.2
Multiplica 0 por 0.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.3
Multiplica 0 por 0.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.4
Multiplica 0 por 0.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.5
Multiplica 0 por 1.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.6
Multiplica 0 por 0.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.7
Multiplica 0 por 0.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]
Paso 3.2.1.2.8
Multiplica 0 por 0.
[350750110]+[000000000⋅1]
Paso 3.2.1.2.9
Multiplica 0 por 1.
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
Paso 3.2.2
Sumar cualquier matriz a la matriz nula es una matriz en sí misma.
Paso 3.2.2.1
Suma los elementos correspondientes.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]
Paso 3.2.2.2
Simplifica cada elemento.
Paso 3.2.2.2.1
Suma 3 y 0.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]
Paso 3.2.2.2.2
Suma 5 y 0.
[350+07+05+00+01+01+00+0]
Paso 3.2.2.2.3
Suma 0 y 0.
[3507+05+00+01+01+00+0]
Paso 3.2.2.2.4
Suma 7 y 0.
[35075+00+01+01+00+0]
Paso 3.2.2.2.5
Suma 5 y 0.
[350750+01+01+00+0]
Paso 3.2.2.2.6
Suma 0 y 0.
[3507501+01+00+0]
Paso 3.2.2.2.7
Suma 1 y 0.
[35075011+00+0]
Paso 3.2.2.2.8
Suma 1 y 0.
[350750110+0]
Paso 3.2.2.2.9
Suma 0 y 0.
[350750110]
[350750110]
[350750110]
[350750110]
Paso 3.3
Obtén el espacio nulo cuando λ=0.
Paso 3.3.1
Escribe como una matriz aumentada para Ax=0.
[350075001100]
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 3.3.2.1
Multiplica cada elemento de R1 por 13 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
Paso 3.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de R1 por 13 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
[3353030375001100]
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica R1.
[1530075001100]
[1530075001100]
Paso 3.3.2.2
Realiza la operación de fila R2=R2-7R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
Paso 3.3.2.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-7R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica R2.
[153000-203001100]
[153000-203001100]
Paso 3.3.2.3
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
Paso 3.3.2.3.1
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
[153000-203001-11-530-00-0]
Paso 3.3.2.3.2
Simplifica R3.
[153000-203000-2300]
[153000-203000-2300]
Paso 3.3.2.4
Multiplica cada elemento de R2 por -320 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
Paso 3.3.2.4.1
Multiplica cada elemento de R2 por -320 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]
Paso 3.3.2.4.2
Simplifica R2.
[1530001000-2300]
[1530001000-2300]
Paso 3.3.2.5
Realiza la operación de fila R3=R3+23R2 para hacer que la entrada en 3,2 sea 0.
Paso 3.3.2.5.1
Realiza la operación de fila R3=R3+23R2 para hacer que la entrada en 3,2 sea 0.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]
Paso 3.3.2.5.2
Simplifica R3.
[1530001000000]
[1530001000000]
Paso 3.3.2.6
Realiza la operación de fila R1=R1-53R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
Paso 3.3.2.6.1
Realiza la operación de fila R1=R1-53R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]
Paso 3.3.2.6.2
Simplifica R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Paso 3.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
x=0
y=0
0=0
Paso 3.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
[xyz]=[00z]
Paso 3.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
[xyz]=z[001]
Paso 3.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
{z[001]|z∈R}
Paso 3.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Paso 4
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([350750110]-10[100010001])
Paso 4.2
Simplifica.
Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
Paso 4.2.1.1
Multiplica -10 por cada elemento de la matriz.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 4.2.1.2.1
Multiplica -10 por 1.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.2
Multiplica -10 por 0.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.3
Multiplica -10 por 0.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.4
Multiplica -10 por 0.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.5
Multiplica -10 por 1.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.6
Multiplica -10 por 0.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.7
Multiplica -10 por 0.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.8
Multiplica -10 por 0.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]
Paso 4.2.1.2.9
Multiplica -10 por 1.
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
Paso 4.2.2
Suma los elementos correspondientes.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
Paso 4.2.3
Simplifica cada elemento.
Paso 4.2.3.1
Resta 10 de 3.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
Paso 4.2.3.2
Suma 5 y 0.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
Paso 4.2.3.3
Suma 0 y 0.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
Paso 4.2.3.4
Suma 7 y 0.
[-75075-100+01+01+00-10]
Paso 4.2.3.5
Resta 10 de 5.
[-7507-50+01+01+00-10]
Paso 4.2.3.6
Suma 0 y 0.
[-7507-501+01+00-10]
Paso 4.2.3.7
Suma 1 y 0.
[-7507-5011+00-10]
Paso 4.2.3.8
Suma 1 y 0.
[-7507-50110-10]
Paso 4.2.3.9
Resta 10 de 0.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
Paso 4.3
Obtén el espacio nulo cuando λ=10.
Paso 4.3.1
Escribe como una matriz aumentada para Ax=0.
[-75007-50011-100]
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 4.3.2.1
Multiplica cada elemento de R1 por -17 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
Paso 4.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de R1 por -17 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica R1.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
Paso 4.3.2.2
Realiza la operación de fila R2=R2-7R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
Paso 4.3.2.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-7R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
Paso 4.3.2.2.2
Simplifica R2.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
Paso 4.3.2.3
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
Paso 4.3.2.3.1
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
Paso 4.3.2.3.2
Simplifica R3.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
Paso 4.3.2.4
Intercambia R3 por R2 para poner una entrada que no sea cero en 2,2.
[1-57000127-1000000]
Paso 4.3.2.5
Multiplica cada elemento de R2 por 712 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
Paso 4.3.2.5.1
Multiplica cada elemento de R2 por 712 para hacer que la entrada en 2,2 sea 1.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
Paso 4.3.2.5.2
Simplifica R2.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
Paso 4.3.2.6
Realiza la operación de fila R1=R1+57R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
Paso 4.3.2.6.1
Realiza la operación de fila R1=R1+57R2 para hacer que la entrada en 1,2 sea 0.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
Paso 4.3.2.6.2
Simplifica R1.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
Paso 4.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
Paso 4.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
[xyz]=[25z635z6z]
Paso 4.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
[xyz]=z[2563561]
Paso 4.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
{z[2563561]|z∈R}
Paso 4.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
Paso 5
Paso 5.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([350750110]+2[100010001])
Paso 5.2
Simplifica.
Paso 5.2.1
Simplifica cada término.
Paso 5.2.1.1
Multiplica 2 por cada elemento de la matriz.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 5.2.1.2.1
Multiplica 2 por 1.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.2
Multiplica 2 por 0.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.3
Multiplica 2 por 0.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.4
Multiplica 2 por 0.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.5
Multiplica 2 por 1.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.6
Multiplica 2 por 0.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.7
Multiplica 2 por 0.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
Paso 5.2.1.2.8
Multiplica 2 por 0.
[350750110]+[200020002⋅1]
Paso 5.2.1.2.9
Multiplica 2 por 1.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
Paso 5.2.2
Suma los elementos correspondientes.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
Paso 5.2.3
Simplifica cada elemento.
Paso 5.2.3.1
Suma 3 y 2.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
Paso 5.2.3.2
Suma 5 y 0.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
Paso 5.2.3.3
Suma 0 y 0.
[5507+05+20+01+01+00+2]
Paso 5.2.3.4
Suma 7 y 0.
[55075+20+01+01+00+2]
Paso 5.2.3.5
Suma 5 y 2.
[550770+01+01+00+2]
Paso 5.2.3.6
Suma 0 y 0.
[5507701+01+00+2]
Paso 5.2.3.7
Suma 1 y 0.
[55077011+00+2]
Paso 5.2.3.8
Suma 1 y 0.
[550770110+2]
Paso 5.2.3.9
Suma 0 y 2.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
Paso 5.3
Obtén el espacio nulo cuando λ=-2.
Paso 5.3.1
Escribe como una matriz aumentada para Ax=0.
[550077001120]
Paso 5.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 5.3.2.1
Multiplica cada elemento de R1 por 15 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
Paso 5.3.2.1.1
Multiplica cada elemento de R1 por 15 para hacer que la entrada en 1,1 sea 1.
[5555050577001120]
Paso 5.3.2.1.2
Simplifica R1.
[110077001120]
[110077001120]
Paso 5.3.2.2
Realiza la operación de fila R2=R2-7R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
Paso 5.3.2.2.1
Realiza la operación de fila R2=R2-7R1 para hacer que la entrada en 2,1 sea 0.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
Paso 5.3.2.2.2
Simplifica R2.
[110000001120]
[110000001120]
Paso 5.3.2.3
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
Paso 5.3.2.3.1
Realiza la operación de fila R3=R3-R1 para hacer que la entrada en 3,1 sea 0.
[110000001-11-12-00-0]
Paso 5.3.2.3.2
Simplifica R3.
[110000000020]
[110000000020]
Paso 5.3.2.4
Intercambia R3 por R2 para poner una entrada que no sea cero en 2,3.
[110000200000]
Paso 5.3.2.5
Multiplica cada elemento de R2 por 12 para hacer que la entrada en 2,3 sea 1.
Paso 5.3.2.5.1
Multiplica cada elemento de R2 por 12 para hacer que la entrada en 2,3 sea 1.
[1100020222020000]
Paso 5.3.2.5.2
Simplifica R2.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
Paso 5.3.3
Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.
x+y=0
z=0
0=0
Paso 5.3.4
Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.
[xyz]=[-yy0]
Paso 5.3.5
Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.
[xyz]=y[-110]
Paso 5.3.6
Escribe como un conjunto de soluciones.
{y[-110]|y∈R}
Paso 5.3.7
La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
Paso 6
El espacio propio de A es la lista del espacio vectorial para cada valor propio.
{[001],[2563561],[-110]}
