Álgebra Ejemplos

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

3

$3$ es la matriz cuadrada

3 \times 3

$3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{3}

$I_{3}$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Paso 4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Paso 4.1.2.4

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Paso 4.1.2.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Paso 4.1.2.7

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 4.3.1

Suma

2

$2$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 + 0 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & 0 - λ & 0 + 0 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Resta

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & - λ & 0 + 0 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & - λ & 0 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & - λ & 0 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.7

Suma

2

$2$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & - λ & 0 0 & 2 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & - λ & 0 0 & 2 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - λ & 2 & 1 1 & - λ & 0 0 & 2 & 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Obtén el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Elige la fila o columna con más elementos

0

$0$ . Si no hay elementos

0

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna

1

$1$ por su cofactor y suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

-

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 5.1.3

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - λ & 0 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiplica el elemento

a_{11}

$a_{11}$ por su cofactor.

(2 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - λ & 0 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$(2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

El elemento menor de

a_{21}

$a_{21}$ es la determinante con la fila

2

$2$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiplica el elemento

a_{21}

$a_{21}$ por su cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

El elemento menor de

a_{31}

$a_{31}$ es la determinante con la fila

3

$3$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 - λ & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiplica el elemento

a_{31}

$a_{31}$ por su cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 - λ & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Suma los términos juntos.

p (λ) = (2 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - λ & 0 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 - λ & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

p (λ) = (2 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - λ & 0 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 - λ & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica

0

$0$ por

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 - λ & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$ .

p (λ) = (2 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - λ & 0 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - λ & 0 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ (1 - λ) - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ (1 - λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = (2 - λ) (- λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.4.1

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.4.1.1

Mueve

λ

$λ$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4.1.2

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4.3

Multiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.5

Multiplica

- 2

$- 2$ por

0

$0$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.2

Suma

- λ + λ^{2}

$- λ + λ^{2}$ y

0

$0$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2}) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.3

Reordena

- λ

$- λ$ y

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 2 & 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 (1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 (1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2 \cdot 1) + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2 \cdot 1) + 0$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2) + 0

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2) + 0$

Paso 5.4.2.2

Combina los términos opuestos en

$2 - 2 λ - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Resta

$2$ de

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ + 0) + 0$

Paso 5.4.2.2.2

Suma

$- 2 λ$ y

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ) + 0$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Suma

$(2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$ y

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Expande

$(2 - λ) (λ^{2} - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 (λ^{2} - λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.2

Multiplica

$λ$ por

$λ^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.2.1

Mueve

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.2.2

Multiplica

$λ^{2}$ por

$λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.2.2.1

Eleva

$λ$ a la potencia de

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.2.3

Suma

$2$ y

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.4

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.4.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.4.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.5

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.1.6

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.2.2

Suma

$2 λ^{2}$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 (- 2 λ)$

Paso 5.5.2.3

Multiplica

$- 2$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$

Paso 5.5.3

Combina los términos opuestos en

$3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Suma

$- 2 λ$ y

$2 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 0$

Paso 5.5.3.2

Suma

$3 λ^{2} - λ^{3}$ y

$0$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3}$

Paso 5.5.4

Reordena

$3 λ^{2}$ y

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2}$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$- λ^{3} + 3 λ^{2} = 0$

Paso 7

Resuelve

$λ$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza

$- λ^{2}$ de

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Factoriza

$- λ^{2}$ de

$- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 3 λ^{2} = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza

$- λ^{2}$ de

$3 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 3 = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza

$- λ^{2}$ de

$- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 3)$ .

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

Paso 7.3

Establece

$λ^{2}$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Establece

$λ^{2}$ igual a

$0$ .

$λ^{2} = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve

$λ^{2} = 0$ en

$λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Reescribe

$0$ como

$0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$λ = \pm 0$

Paso 7.3.2.2.3

Más o menos

$0$ es

$0$ .

$λ = 0$

Paso 7.4

Establece

$λ - 3$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Establece

$λ - 3$ igual a

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Paso 7.4.2

Suma

$3$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 3$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$ verdadera.

$λ = 0, 3$

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