Álgebra Ejemplos

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

Paso 1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

Paso 2

Completa el cuadrado de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{3}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $36$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Paso 2.4.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Paso 3

Sustituye $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ por $3 x^{2} - 6 x$ en la ecuación $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

Paso 4

Mueve $- 3$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $3$ a ambos lados.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

Paso 5

Completa el cuadrado de $4 y^{2} + 8 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 5.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Paso 6

Sustituye $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} + 8 y$ en la ecuación $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

Paso 7

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

Paso 8

Simplifica $5 + 3 + 4$ .

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Paso 8.1

Suma $5$ y $3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

Paso 8.2

Suma $8$ y $4$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

Paso 9

Divide cada término por $12$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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