Álgebra Ejemplos

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

Paso 1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 4 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 1.4.2.1.1.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Paso 2

Sustituye ${(x + 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} + 4 x$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0$

Paso 3

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4$

Paso 4

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 8 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Paso 4.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 4$ como $- - 4$ .

$d = - - 4$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$d = 4$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Paso 4.4.2.1.3

Divide $64$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 16$

Paso 4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Paso 4.4.2.2

Suma $0$ y $16$ .

$e = 16$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 4)}^{2} + 16$ .

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

Paso 5

Sustituye $- {(y + 4)}^{2} + 16$ por $- y^{2} - 8 y$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4$

Paso 6

Mueve $16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16$

Paso 7

Simplifica $0 + 4 - 16$ .

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Paso 7.1

Suma $0$ y $4$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16$

Paso 7.2

Resta $16$ de $4$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

Paso 8

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12$

Paso 9

Divide cada término por $12$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1$

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