Álgebra Ejemplos

\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de

\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}$ por el conjugado de

- 4 + 2 i

$- 4 + 2 i$ para hacer real el denominador.

\frac{3 + i}{- 4 + 2 i} \cdot \frac{- 4 - 2 i}{- 4 - 2 i}

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i} \cdot \frac{- 4 - 2 i}{- 4 - 2 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

\frac{(3 + i) (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{(3 + i) (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande

(3 + i) (- 4 - 2 i)

$(3 + i) (- 4 - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{3 (- 4 - 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 (- 4 - 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

- 4

$- 4$ .

\frac{- 12 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

3

$3$ .

\frac{- 12 - 6 i + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Mueve

- 4

$- 4$ a la izquierda de

i

$i$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 \cdot i + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 \cdot i + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica

i (- 2 i)

$i (- 2 i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Eleva

i

$i$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva

i

$i$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{1 + 1}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{1 + 1}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe

i^{2}

$i^{2}$ como

- 1

$- 1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 \cdot - 1}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 \cdot - 1}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.2

Suma

- 12

$- 12$ y

2

$2$ .

\frac{- 10 - 6 i - 4 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 6 i - 4 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.3

Resta

4 i

$4 i$ de

- 6 i

$- 6 i$ .

\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande

(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)

$(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 (- 4 - 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 (- 4 - 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica

- 4

$- 4$ por

- 4

$- 4$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 4

$- 4$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica

- 4

$- 4$ por

2

$2$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica

- 2

$- 2$ por

2

$2$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Resta

$8 i$ de

$8 i$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 0 - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma

$16$ y

$0$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 4}$

Paso 2.3.4

Suma

$16$ y

$4$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{20}$

Paso 3

Cancela el factor común de

$- 10 - 10 i$ y

$20$ .

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Paso 3.1

Factoriza

$10$ de

$- 10$ .

$\frac{10 (- 1) - 10 i}{20}$

Paso 3.2

Factoriza

$10$ de

$- 10 i$ .

$\frac{10 (- 1) + 10 (- i)}{20}$

Paso 3.3

Factoriza

$10$ de

$10 (- 1) + 10 (- i)$ .

$\frac{10 (- 1 - i)}{20}$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza

$10$ de

$20$ .

$\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 - i}{2}$

Paso 4

Divide la fracción

$\frac{- 1 - i}{2}$ en dos fracciones.

$\frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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