Álgebra Ejemplos

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

Paso 1

Sustituye $u$ por $z - 3$ .

$u^{3} = 2 i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Paso 5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 2$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Paso 7

Como el argumento es indefinido y $b$ es positiva, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{2}$ y $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 10

Usa el teorema de DeMoivre para obtener una ecuación para $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 11

Iguala el módulo de la forma trigonométrica a $r^{3}$ para obtener el valor de $r$ .

$r^{3} = 2$

Paso 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

Paso 13

Obtén el valor aproximado de $r$ .

$r = 1.25992104$

Paso 14

Obtén los posibles valores de $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ y $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Paso 15

Obtención de todos los valores posibles de $θ$ conduce a la ecuación $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Paso 16

Obtén el valor de $θ$ para $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 17.1

Simplifica.

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Paso 17.1.1

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 17.1.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Paso 17.1.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Paso 17.1.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Paso 17.2

Divide cada término en $3 θ = \frac{π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 17.2.1

Divide cada término en $3 θ = \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 17.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 17.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 17.2.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 17.2.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 17.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 18

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 19

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 19.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Paso 19.1.3

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 19.3

Multiplica $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 19.3.1

Combina $1.25992104$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 19.3.2

Multiplica $1.25992104$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 19.4

Combina $1.25992104$ y $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Paso 19.5

Simplifica cada término.

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Paso 19.5.1

Divide $2.18224727$ por $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Paso 19.5.2

Factoriza $1.25992104$ de $1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Paso 19.5.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Paso 19.5.4

Separa las fracciones.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Paso 19.5.5

Divide $1.25992104$ por $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Paso 19.5.6

Divide $i$ por $1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Paso 20

Sustituye $z - 3$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Paso 21

Obtén el valor de $θ$ para $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Paso 22

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 22.1

Simplifica.

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Paso 22.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 22.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 22.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Paso 22.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Paso 22.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Paso 22.1.6

Suma $π$ y $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Paso 22.2

Divide cada término en $3 θ = \frac{5 π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 22.2.1

Divide cada término en $3 θ = \frac{5 π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Paso 22.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 22.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Paso 22.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Paso 22.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 22.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 22.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 22.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Paso 22.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Paso 23

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 24.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Paso 24.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 24.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Paso 24.1.5

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Paso 24.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 24.3

Multiplica $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Paso 24.3.1

Multiplica $- 1$ por $1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 24.3.2

Combina $- 1.25992104$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 24.3.3

Multiplica $- 1.25992104$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Paso 24.4

Combina $1.25992104$ y $\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Paso 24.5

Simplifica cada término.

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Paso 24.5.1

Divide $- 2.18224727$ por $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Paso 24.5.2

Factoriza $1.25992104$ de $1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Paso 24.5.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Paso 24.5.4

Separa las fracciones.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Paso 24.5.5

Divide $1.25992104$ por $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Paso 24.5.6

Divide $i$ por $1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Paso 25

Sustituye $z - 3$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Paso 26

Obtén el valor de $θ$ para $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Paso 27

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 27.1

Simplifica.

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Paso 27.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Paso 27.1.2

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 27.1.3

Combina $4 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Paso 27.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Paso 27.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Paso 27.1.6

Suma $π$ y $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Paso 27.2

Divide cada término en $3 θ = \frac{9 π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 27.2.1

Divide cada término en $3 θ = \frac{9 π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Paso 27.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 27.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 27.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Paso 27.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Paso 27.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 27.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 27.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 27.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 27.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 28

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 29

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 29.1

Simplifica cada término.

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Paso 29.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 29.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 29.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 29.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Paso 29.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Paso 29.1.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Paso 29.1.7

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Paso 29.2

Simplifica la expresión.

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Paso 29.2.1

Resta $i$ de $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Paso 29.2.2

Multiplica $- 1$ por $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Paso 30

Sustituye $z - 3$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Paso 31

Estas son las soluciones complejas a $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

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