Álgebra Ejemplos

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una elipse.

Ecuación de elipse horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de elipse vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

$a$ es la distancia entre el vértice $(4, - 2)$ y el punto central $(- 1, - 2)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.2

Suma $4$ y $1$ .

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Paso 2.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{25 + 0}$

Paso 2.3.7

Suma $25$ y $0$ .

$a = \sqrt{25}$

Paso 2.3.8

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2}}$

Paso 2.3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = 5$

Paso 3

$c$ es la distancia entre el enfoque $(2, - 2)$ y el centro $(- 1, - 2)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 3.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 3.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Paso 3.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Paso 3.3.7

Suma $9$ y $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Paso 3.3.8

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Paso 3.3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 3$

Paso 4

Mediante la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , sustituye $5$ por $a$ y $3$ por $c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Paso 4.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Paso 4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$25 - b^{2} = 9$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$- b^{2} = 9 - 25$

Paso 4.4.2

Resta $25$ de $9$ .

$- b^{2} = - 16$

Paso 4.5

Divide cada término en $- b^{2} = - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $- b^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide $b^{2}$ por $1$ .

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$b^{2} = 16$

Paso 4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$b = \pm \sqrt{16}$

Paso 4.7

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 4.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$b = \pm 4$

Paso 4.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$b = 4$

Paso 4.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - 4$

Paso 4.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = 4, - 4$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = 4$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco $(2, - 2)$ y el centro $(- 1, - 2)$ determina si la elipse es vertical u horizontal. Si la pendiente es $0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en $x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en $y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de $x$ y $y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Paso 6.4.1.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Paso 6.4.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Paso 6.4.3

Divide $0$ por $- 3$ .

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una elipse horizontal es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores $h = - 1$ , $k = - 2$ , $a = 5$ y $b = 4$ en $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la elipse $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la elipse.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Paso 8.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 9

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