Álgebra Ejemplos

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(4, 2)

$(4, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una elipse.

Ecuación de elipse horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de elipse vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

a

$a$ es la distancia entre el vértice

(5, 2)

$(5, 2)$ y el punto central

(1, 2)

$(1, 2)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta

1

$1$ de

5

$5$ .

a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva

4

$4$ a la potencia de

2

$2$ .

a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta

2

$2$ de

2

$2$ .

a = \sqrt{16 + 0^{2}}

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Paso 2.3.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

a = \sqrt{16 + 0}

$a = \sqrt{16 + 0}$

Paso 2.3.5

Suma

16

$16$ y

0

$0$ .

a = \sqrt{16}

$a = \sqrt{16}$

Paso 2.3.6

Reescribe

16

$16$ como

4^{2}

$4^{2}$ .

a = \sqrt{4^{2}}

$a = \sqrt{4^{2}}$

Paso 2.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

a = 4

$a = 4$

a = 4

$a = 4$

a = 4

$a = 4$

Paso 3

c

$c$ es la distancia entre el enfoque

(4, 2)

$(4, 2)$ y el centro

(1, 2)

$(1, 2)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta

1

$1$ de

4

$4$ .

c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta

2

$2$ de

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + 0^{2}}

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Paso 3.3.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Paso 3.3.5

Suma

$9$ y

$0$ .

$c = \sqrt{9}$

Paso 3.3.6

Reescribe

$9$ como

$3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 3$

Paso 4

Mediante la ecuación

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , sustituye

$4$ por

$a$ y

$3$ por

$c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Paso 4.2

Eleva

$4$ a la potencia de

$2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Paso 4.3

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan

$b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta

$16$ de ambos lados de la ecuación.

$- b^{2} = 9 - 16$

Paso 4.4.2

Resta

$16$ de

$9$ .

$- b^{2} = - 7$

Paso 4.5

Divide cada término en

$- b^{2} = - 7$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en

$- b^{2} = - 7$ por

$- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide

$b^{2}$ por

$1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Divide

$- 7$ por

$- 1$ .

$b^{2} = 7$

Paso 4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$b = \pm \sqrt{7}$

Paso 4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.7.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$b = \sqrt{7}$

Paso 4.7.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - \sqrt{7}$

Paso 4.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = \sqrt{7}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco

$(4, 2)$ y el centro

$(1, 2)$ determina si la elipse es vertical u horizontal. Si la pendiente es

$0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en

$y$ sobre el cambio en

$x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en

$x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en

$y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de

$x$ y

$y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Paso 6.4.1.2

Resta

$2$ de

$2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Paso 6.4.2.2

Resta

$4$ de

$1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Paso 6.4.3

Divide

$0$ por

$- 3$ .

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una elipse horizontal es

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores

$h = 1$ ,

$k = 2$ ,

$a = 4$ y

$b = \sqrt{7}$ en

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la elipse

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la elipse.

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Paso 8.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Eleva

$4$ a la potencia de

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Reescribe

${\sqrt{7}}^{2}$ como

$7$ .

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Paso 8.4.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.4.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Paso 8.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Paso 9

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