Álgebra Ejemplos

$(- 1, 2)$ , $(5, 2)$ , $(7, 2)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una elipse.

Ecuación de elipse horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de elipse vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

$a$ es la distancia entre el vértice $(7, 2)$ y el punto central $(- 1, 2)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Suma $7$ y $1$ .

$a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Resta $2$ de $2$ .

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Paso 2.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{64 + 0}$

Paso 2.3.6

Suma $64$ y $0$ .

$a = \sqrt{64}$

Paso 2.3.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$a = \sqrt{8^{2}}$

Paso 2.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = 8$

Paso 3

$c$ es la distancia entre el enfoque $(5, 2)$ y el centro $(- 1, 2)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Suma $5$ y $1$ .

$c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Resta $2$ de $2$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Paso 3.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Paso 3.3.6

Suma $36$ y $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Paso 3.3.7

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Paso 3.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 6$

Paso 4

Mediante la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , sustituye $8$ por $a$ y $6$ por $c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Paso 4.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Paso 4.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$64 - b^{2} = 36$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$- b^{2} = 36 - 64$

Paso 4.4.2

Resta $64$ de $36$ .

$- b^{2} = - 28$

Paso 4.5

Divide cada término en $- b^{2} = - 28$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $- b^{2} = - 28$ por $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide $b^{2}$ por $1$ .

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Divide $- 28$ por $- 1$ .

$b^{2} = 28$

Paso 4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$b = \pm \sqrt{28}$

Paso 4.7

Simplifica $\pm \sqrt{28}$ .

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Paso 4.7.1

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Paso 4.7.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Paso 4.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Paso 4.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$b = 2 \sqrt{7}$

Paso 4.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Paso 4.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = 2 \sqrt{7}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco $(5, 2)$ y el centro $(- 1, 2)$ determina si la elipse es vertical u horizontal. Si la pendiente es $0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en $x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en $y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de $x$ y $y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{2 - (2)}{- 1 - (5)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{- 1 - (5)}$

Paso 6.4.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (5)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 5}$

Paso 6.4.2.2

Resta $5$ de $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Paso 6.4.3

Divide $0$ por $- 6$ .

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una elipse horizontal es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores $h = - 1$ , $k = 2$ , $a = 8$ y $b = 2 \sqrt{7}$ en $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la elipse $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la elipse.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Simplifica el denominador.

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Paso 8.4.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Paso 8.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Paso 8.4.3

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 8.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Paso 8.4.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Paso 8.5

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{28} = 1$

Paso 9

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