Álgebra Ejemplos

$(5, 1)$ , $(4, 1)$ , $(- 5, 1)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una hipérbola.

Ecuación de hipérbola horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de hipérbola vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

$a$ es la distancia entre el vértice $(4, 1)$ y el punto central $(5, 1)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $5$ de $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Paso 2.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Paso 2.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Paso 2.3.6

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$a = 1$

Paso 3

$c$ es la distancia entre el enfoque $(- 5, 1)$ y el centro $(5, 1)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $5$ de $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Paso 3.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Paso 3.3.5

Suma $100$ y $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Paso 3.3.6

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 10$

Paso 4

Mediante la ecuación $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , sustituye $1$ por $a$ y $10$ por $c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Paso 4.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{2} = 100 - 1$

Paso 4.4.2

Resta $1$ de $100$ .

$b^{2} = 99$

Paso 4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$b = \pm \sqrt{99}$

Paso 4.6

Simplifica $\pm \sqrt{99}$ .

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Paso 4.6.1

Reescribe $99$ como $3^{2} \cdot 11$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $9$ de $99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Paso 4.6.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Paso 4.6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Paso 4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$b = 3 \sqrt{11}$

Paso 4.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Paso 4.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = 3 \sqrt{11}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco $(- 5, 1)$ y el centro $(5, 1)$ determina si la hipérbola es vertical u horizontal. Si la pendiente es $0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en $x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en $y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de $x$ y $y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

Paso 6.4.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Paso 6.4.2.2

Suma $5$ y $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Paso 6.4.3

Divide $0$ por $10$ .

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una hipérbola horizontal es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores $h = 5$ , $k = 1$ , $a = 1$ y $b = 3 \sqrt{11}$ en $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la hipérbola $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la hipérbola.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Divide ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.5

Simplifica el denominador.

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Paso 8.5.1

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Paso 8.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Paso 8.5.3

Reescribe ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Paso 8.5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.5.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.5.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.3.4.1

Cancela el factor común.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.5.3.4.2

Reescribe la expresión.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Paso 8.5.3.5

Evalúa el exponente.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Paso 8.6

Multiplica $9$ por $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

Paso 9

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