Álgebra Ejemplos

(5, 6)

$(5, 6)$ ,

(4, 6)

$(4, 6)$ ,

(- 5, 6)

$(- 5, 6)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una hipérbola.

Ecuación de hipérbola horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de hipérbola vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

a

$a$ es la distancia entre el vértice

(4, 6)

$(4, 6)$ y el punto central

(5, 6)

$(5, 6)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta

5

$5$ de

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {(6 - 6)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(6 - 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta

6

$6$ de

6

$6$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Paso 2.3.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Paso 2.3.5

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Paso 2.3.6

Cualquier raíz de

1

$1$ es

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Paso 3

c

$c$ es la distancia entre el enfoque

(- 5, 6)

$(- 5, 6)$ y el centro

(5, 6)

$(5, 6)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta

5

$5$ de

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Eleva

- 10

$- 10$ a la potencia de

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {(6 - 6)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(6 - 6)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta

6

$6$ de

6

$6$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Paso 3.3.4

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Paso 3.3.5

Suma

100

$100$ y

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Paso 3.3.6

Reescribe

100

$100$ como

10^{2}

$10^{2}$ .

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Paso 4

Mediante la ecuación

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , sustituye

1

$1$ por

a

$a$ y

10

$10$ por

c

$c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Paso 4.3

Eleva

10

$10$ a la potencia de

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan

b

$b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta

1

$1$ de ambos lados de la ecuación.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Paso 4.4.2

Resta

1

$1$ de

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Paso 4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Paso 4.6

Simplifica

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

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Paso 4.6.1

Reescribe

99

$99$ como

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza

9

$9$ de

99

$99$ .

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Paso 4.6.1.2

Reescribe

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Paso 4.6.2

Retira los términos de abajo del radical.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Paso 4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.7.1

Primero, usa el valor positivo de

\pm

$\pm$ para obtener la primera solución.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Paso 4.7.2

Luego, usa el valor negativo de

\pm

$\pm$ para obtener la segunda solución.

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

Paso 4.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Paso 5

b

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco

(- 5, 6)

$(- 5, 6)$ y el centro

(5, 6)

$(5, 6)$ determina si la hipérbola es vertical u horizontal. Si la pendiente es

0

$0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en

y

$y$ sobre el cambio en

x

$x$ , o elevación sobre avance.

m = \frac{cambio en y}{cambio en x}

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en

x

$x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en

y

$y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de

x

$x$ y

y

$y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

m = \frac{6 - (6)}{5 - (- 5)}

$m = \frac{6 - (6)}{5 - (- 5)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

6

$6$ .

m = \frac{6 - 6}{5 - (- 5)}

$m = \frac{6 - 6}{5 - (- 5)}$

Paso 6.4.1.2

Resta

6

$6$ de

6

$6$ .

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 5

$- 5$ .

m = \frac{0}{5 + 5}

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Paso 6.4.2.2

Suma

5

$5$ y

5

$5$ .

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

Paso 6.4.3

Divide

0

$0$ por

10

$10$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Paso 6.5

La ecuación general para una hipérbola horizontal es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores

h = 5

$h = 5$ ,

k = 6

$k = 6$ ,

a = 1

$a = 1$ y

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$ en

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la hipérbola

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la hipérbola.

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Paso 8.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Divide

${(x - 5)}^{2}$ por

$1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (6))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Multiplica

$- 1$ por

$6$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Paso 8.5

Simplifica el denominador.

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Paso 8.5.1

Aplica la regla del producto a

$3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Paso 8.5.2

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Paso 8.5.3

Reescribe

${\sqrt{11}}^{2}$ como

$11$ .

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Paso 8.5.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{11}$ como

$11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.5.3.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.5.3.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.5.3.4.1

Cancela el factor común.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.5.3.4.2

Reescribe la expresión.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Paso 8.5.3.5

Evalúa el exponente.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Paso 8.6

Multiplica

$9$ por

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{99} = 1$

Paso 9

Ingresa TU problema