Álgebra Ejemplos

(1, 2, - 3)

$(1, 2, - 3)$ ,

(3, 5, - 3)

$(3, 5, - 3)$ ,

(1, - 1, 1)

$(1, - 1, 1)$ ,

(- 2, - 2, - 2)

$(- 2, - 2, - 2)$

Paso 1

Dados los puntos

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$ y

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$ , obtén un plano que contenga los puntos

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$ y

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$ que sea paralelo a la línea

CD

$CD$ .

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Paso 2

Primero, calcula el vector de dirección de la línea que pasa por los puntos

C

$C$ y

D

$D$ . Esto se puede hacer si se toman los valores de las coordenadas del punto

C

$C$ y se restan del punto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Paso 3

Reemplaza los valores

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ y luego simplifica para obtener el vector de dirección

V_{CD}

$V_{CD}$ para la línea

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Paso 4

Calcula el vector de dirección de una línea que pasa por los puntos

A

$A$ y

B

$B$ con el mismo método.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Paso 5

Reemplaza los valores

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ y luego simplifica para obtener el vector de dirección

V_{AB}

$V_{AB}$ para la línea

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Paso 6

El plano de la solución contendrá una línea con los puntos

A

$A$ y

B

$B$ y con el vector de dirección

V_{A B}

$V_{A B}$ . Para que este plano sea paralelo a la línea

C D

$C D$ , obtén el vector normal del plano, que también es ortogonal al vector de dirección de la línea

C D

$C D$ . Calcula el vector normal mediante la obtención del producto cruzado

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ , para lo cual hay que obtener el determinante de la matriz

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 2 & 3 & 0 - 3 & - 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Paso 7

Calcula el determinante.

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Paso 7.1

Elige la fila o columna con más elementos

0

$0$ . Si no hay elementos

0

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

1

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 7.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 7.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

-

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 7.1.3

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.1.4

Multiplica el elemento

a_{11}

$a_{11}$ por su cofactor.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.1.5

El elemento menor de

a_{12}

$a_{12}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.1.6

Multiplica el elemento

a_{12}

$a_{12}$ por su cofactor.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Paso 7.1.7

El elemento menor de

a_{13}

$a_{13}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Paso 7.1.8

Multiplica el elemento

a_{13}

$a_{13}$ por su cofactor.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.1.9

Suma los términos juntos.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.2

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 7.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (3 \cdot - 3 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Multiplica

3

$3$ por

- 3

$- 3$ .

i (- 9 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica

- - 0

$- - 0$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

i (- 9 - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.2.2.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.2.2.2

Suma

- 9

$- 9$ y

0

$0$ .

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.3

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 7.3.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

- 3

$- 3$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.3.2.1.2

Multiplica

- (- 3 \cdot 0)

$- (- 3 \cdot 0)$ .

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Paso 7.3.2.1.2.1

Multiplica

- 3

$- 3$ por

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.3.2.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.3.2.2

Suma

- 6

$- 6$ y

0

$0$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Paso 7.4

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Paso 7.4.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Paso 7.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.1

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Paso 7.4.2.1.2

Multiplica

- (- 3 \cdot 3)

$- (- 3 \cdot 3)$ .

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Paso 7.4.2.1.2.1

Multiplica

- 3

$- 3$ por

3

$3$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Paso 7.4.2.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 9

$- 9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Paso 7.4.2.2

Suma

- 2

$- 2$ y

9

$9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Paso 7.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Mueve

- 9

$- 9$ a la izquierda de

i

$i$ .

- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Paso 7.5.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 6

$- 6$ .

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Paso 8

Resuelve la expresión

(- 9) x + (6) y + (7) z

$(- 9) x + (6) y + (7) z$ en el punto

A

$A$ dado que está en el plano. Esto se usa para calcular la constante de la ecuación en el plano.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Multiplica

- 9

$- 9$ por

1

$1$ .

- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Paso 8.1.2

Multiplica

6

$6$ por

2

$2$ .

- 9 + 12 + (7) \cdot - 3

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Paso 8.1.3

Multiplica

$7$ por

$- 3$ .

$- 9 + 12 - 21$

Paso 8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.1

Suma

$- 9$ y

$12$ .

$3 - 21$

Paso 8.2.2

Resta

$21$ de

$3$ .

$- 18$

Paso 9

Suma la constante para encontrar que la ecuación del plano sea

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ .

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Paso 10

Multiplica

$7$ por

$z$ .

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

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