Álgebra Ejemplos

$x - y = 4$ ,

$4 x - y = - 5$

Paso 1

Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto

$(p, q, r)$ perpendicular al plano

$P_{1}$

$a x + b y + c z = d$ y al plano

$P_{2}$

$e x + f y + g z = h$ :

1. Busca los vectores normales del plano

$P_{1}$ y del plano

$P_{2}$ donde los vectores normales son

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ y

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Comprueba si el producto escalar es 0.

2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ y

$z = r + c t$ .

3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano

$P_{2}$ tal que

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ y resuelve para

$t$ .

4. A partir del valor de

$t$ , resuelve las ecuaciones paramétricas

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ y

$z = r + c t$ en

$t$ para obtener la intersección de

$(x, y, z)$ .

Paso 2

Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.

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Paso 2.1

$P_{1}$ es

$x - y = 4$ . Encuentra el vector normal

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Paso 2.2

$P_{2}$ es

$4 x - y = - 5$ . Encuentra el vector normal

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Paso 2.3

Calcula el producto escalar de

$n_{1}$ y

$n_{2}$ mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de

$x$ ,

$y$ y

$z$ en los vectores normales.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4

Simplifica el producto escalar.

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Paso 2.4.1

Elimina los paréntesis.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Paso 2.4.2.3

Multiplica

$0$ por

$0$ .

$4 + 1 + 0$

Paso 2.4.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.4.3.1

Suma

$4$ y

$1$ .

$5 + 0$

Paso 2.4.3.2

Suma

$5$ y

$0$ .

$5$

Paso 3

A continuación, construye un conjunto de ecuaciones paramétricas

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ y

$z = r + c t$ con el origen

$(0, 0, 0)$ para el punto

$(p, q, r)$ y los valores del vector normal

$5$ para los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ . Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la línea que pasa por el origen perpendicular a

$P_{1}$

$x - y = 4$ .

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Paso 4

Sustituye la expresión para

$x$ ,

$y$ y

$z$ en la ecuación para

$P_{2}$

$4 x - y = - 5$ .

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Paso 5

Resuelve la ecuación en

$t$ .

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Paso 5.1

Simplifica

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Paso 5.1.1

Combina los términos opuestos en

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Paso 5.1.1.1

Suma

$0$ y

$1 \cdot t$ .

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Paso 5.1.1.2

Resta

$1 \cdot t$ de

$0$ .

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Paso 5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica

$t$ por

$1$ .

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Paso 5.1.2.2

Reescribe

$- 1 t$ como

$- t$ .

$4 t - - t = - 5$

Paso 5.1.2.3

Multiplica

$- - t$ .

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Paso 5.1.2.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$4 t + 1 t = - 5$

Paso 5.1.2.3.2

Multiplica

$t$ por

$1$ .

$4 t + t = - 5$

Paso 5.1.3

Suma

$4 t$ y

$t$ .

$5 t = - 5$

Paso 5.2

Divide cada término en

$5 t = - 5$ por

$5$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en

$5 t = - 5$ por

$5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de

$5$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide

$t$ por

$1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide

$- 5$ por

$5$ .

$t = - 1$

Paso 6

Resuelve las ecuaciones paramétricas en

$x$ ,

$y$ y

$z$ mediante el valor de

$t$ .

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Paso 6.1

Resuelve la ecuación en

$x$ .

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Paso 6.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Paso 6.1.2

Simplifica

$0 + 1 \cdot (- 1)$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$x = 0 - 1$

Paso 6.1.2.2

Resta

$1$ de

$0$ .

$x = - 1$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en

$y$ .

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Paso 6.2.2

Simplifica

$0 - 1 \cdot - 1$ .

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Paso 6.2.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$y = 0 + 1$

Paso 6.2.2.2

Suma

$0$ y

$1$ .

$y = 1$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en

$z$ .

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Paso 6.3.1

Elimina los paréntesis.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Paso 6.3.2

Simplifica

$0 + 0 \cdot (- 1)$ .

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Paso 6.3.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$z = 0 + 0$

Paso 6.3.2.2

Suma

$0$ y

$0$ .

$z = 0$

Paso 6.4

Las ecuaciones paramétricas resueltas para

$x$ ,

$y$ y

$z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

Paso 7

Mediante los valores calculados para

$x$ ,

$y$ y

$z$ , el punto de intersección es

$(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

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