Ejemplos

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Paso 1

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 2

Obtén el determinante.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $6$ por $5$ .

$30 - 2 \cdot 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$30 - 16$

Paso 2.2.2

Resta $16$ de $30$ .

$14$

Paso 3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 5 & - 8 \\ - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{14}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 5 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{14}$ y $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & \frac{- 4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 (7)} \cdot - 2 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{7} \cdot - 1 & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.6

Combina $\frac{1}{7}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{- 1}{7} & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot 6 \end{array}]$

Paso 6.8.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Paso 6.8.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Paso 6.8.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 6.9

Combina $\frac{1}{7}$ y $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{array}]$

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