Ejemplos

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Paso 1

Factoriza

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , donde

p

$p$ es un factor de la constante y

q

$q$ es un factor del coeficiente principal.

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Paso 1.3

Sustituye

2

$2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a

0

$0$ , por lo que

2

$2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye

2

$2$ en el polinomio.

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 1.3.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

3

$3$ .

8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 1.3.3

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 1.3.4

Multiplica

- 6

$- 6$ por

4

$4$ .

8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 1.3.5

Resta

24

$24$ de

8

$8$ .

- 16 + 12 \cdot 2 - 8

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Paso 1.3.6

Multiplica

12

$12$ por

2

$2$ .

- 16 + 24 - 8

$- 16 + 24 - 8$

Paso 1.3.7

Suma

- 16

$- 16$ y

24

$24$ .

8 - 8

$8 - 8$

Paso 1.3.8

Resta

8

$8$ de

8

$8$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 1.4

Como

2

$2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por

x - 2

$x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Paso 1.5

Divide

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ por

x - 2

$x - 2$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

8

$8$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo

x^{3}

$x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$8 x$ $8 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

- 4 x^{2} + 8 x

$- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo

4 x

$4 x$ por el término de mayor orden en el divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en

4 x - 8

$4 x - 8$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$8 x$ $8 x$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
										$0$ $0$

Paso 1.5.16

Since the remainder is

0

$0$ , the final answer is the quotient.

x^{2} - 4 x + 4

$x^{2} - 4 x + 4$

x^{2} - 4 x + 4

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 1.6

Escribe

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ como un conjunto de factores.

(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde

$a = x$ y

$b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Paso 3

Combina factores semejantes.

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Paso 3.1

Eleva

$x - 2$ a la potencia de

$1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 2)}^{1 + 2}$

Paso 3.3

Suma

$1$ y

$2$ .

${(x - 2)}^{3}$

Paso 4

Como el polinomio se puede factorizar, no es primo.

No es primo

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