Ejemplos

Obtener los vectores propios/el espacio propio
[0110][0110]
Paso 1
Obtén los valores propios.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica p(λ)p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI2)p(λ)=determinante(AλI2)
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño 22 es la matriz cuadrada 2×22×2 con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
[1001][1001]
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en p(λ)=determinante(A-λI2)p(λ)=determinante(AλI2).
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Sustituye [0110][0110] por AA.
p(λ)=determinante([0110]-λI2)p(λ)=determinante([0110]λI2)
Paso 1.3.2
Sustituye [1001][1001] por I2I2.
p(λ)=determinante([0110]-λ[1001])p(λ)=determinante([0110]λ[1001])
p(λ)=determinante([0110]-λ[1001])p(λ)=determinante([0110]λ[1001])
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Multiplica -λλ por cada elemento de la matriz.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ1λ0λ0λ1])
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica -11 por 11.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ-λ0-λ0-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λλ0λ0λ1])
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica -λ0λ0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica 00 por -11.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ0λ-λ0-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ0λλ0λ1])
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ0λ0λ1])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ0λ0λ1])
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica -λ0λ0.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica 00 por -11.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00λ-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ00λλ1])
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ00λ1])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ1])p(λ)=determinante([0110]+[λ00λ1])
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica -11 por 11.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ])p(λ)=determinante([0110]+[λ00λ])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ])p(λ)=determinante([0110]+[λ00λ])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ])p(λ)=determinante([0110]+[λ00λ])
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
p(λ)=determinante[0-λ1+01+00-λ]
Paso 1.4.3
Simplify each element.
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Paso 1.4.3.1
Resta λ de 0.
p(λ)=determinante[-λ1+01+00-λ]
Paso 1.4.3.2
Suma 1 y 0.
p(λ)=determinante[-λ11+00-λ]
Paso 1.4.3.3
Suma 1 y 0.
p(λ)=determinante[-λ110-λ]
Paso 1.4.3.4
Resta λ de 0.
p(λ)=determinante[-λ11-λ]
p(λ)=determinante[-λ11-λ]
p(λ)=determinante[-λ11-λ]
Paso 1.5
Find the determinant.
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Paso 1.5.1
El determinante de una matriz 2×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=-λ(-λ)-11
Paso 1.5.2
Simplifica cada término.
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Paso 1.5.2.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
p(λ)=-1-1λλ-11
Paso 1.5.2.2
Multiplica λ por λ sumando los exponentes.
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Paso 1.5.2.2.1
Mueve λ.
p(λ)=-1-1(λλ)-11
Paso 1.5.2.2.2
Multiplica λ por λ.
p(λ)=-1-1λ2-11
p(λ)=-1-1λ2-11
Paso 1.5.2.3
Multiplica -1 por -1.
p(λ)=1λ2-11
Paso 1.5.2.4
Multiplica λ2 por 1.
p(λ)=λ2-11
Paso 1.5.2.5
Multiplica -1 por 1.
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a 0 para obtener los valores propios λ.
λ2-1=0
Paso 1.7
Resuelve λ
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Paso 1.7.1
Suma 1 a ambos lados de la ecuación.
λ2=1
Paso 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±1
Paso 1.7.3
Cualquier raíz de 1 es 1.
λ=±1
Paso 1.7.4
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
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Paso 1.7.4.1
Primero, usa el valor positivo de ± para obtener la primera solución.
λ=1
Paso 1.7.4.2
Luego, usa el valor negativo de ± para obtener la segunda solución.
λ=-1
Paso 1.7.4.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
Paso 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=1.
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Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([0110]-[1001])
Paso 3.2
Simplifica.
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Paso 3.2.1
Resta los elementos correspondientes.
[0-11-01-00-1]
Paso 3.2.2
Simplify each element.
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Paso 3.2.2.1
Resta 1 de 0.
[-11-01-00-1]
Paso 3.2.2.2
Resta 0 de 1.
[-111-00-1]
Paso 3.2.2.3
Resta 0 de 1.
[-1110-1]
Paso 3.2.2.4
Resta 1 de 0.
[-111-1]
[-111-1]
[-111-1]
Paso 3.3
Find the null space when λ=1.
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Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-1101-10]
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
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Paso 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
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Paso 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-11-01-10]
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica R1.
[1-101-10]
[1-101-10]
Paso 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
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Paso 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-101-1-1+10-0]
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica R2.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|yR}
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
Paso 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=-1.
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Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([0110]+[1001])
Paso 4.2
Simplifica.
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Paso 4.2.1
Suma los elementos correspondientes.
[0+11+01+00+1]
Paso 4.2.2
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.2.1
Suma 0 y 1.
[11+01+00+1]
Paso 4.2.2.2
Suma 1 y 0.
[111+00+1]
Paso 4.2.2.3
Suma 1 y 0.
[1110+1]
Paso 4.2.2.4
Suma 0 y 1.
[1111]
[1111]
[1111]
Paso 4.3
Find the null space when λ=-1.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[110110]
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1101-11-10-0]
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica R2.
[110000]
[110000]
[110000]
Paso 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
0=0
Paso 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-yy]
Paso 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-11]
Paso 4.3.6
Write as a solution set.
{y[-11]|yR}
Paso 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-11]}
{[-11]}
{[-11]}
Paso 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11],[-11]}
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