Ejemplos
[0110][0110]
Paso 1
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica p(λ)p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI2)p(λ)=determinante(A−λI2)
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño 22 es la matriz cuadrada 2×22×2 con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
[1001][1001]
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en p(λ)=determinante(A-λI2)p(λ)=determinante(A−λI2).
Paso 1.3.1
Sustituye [0110][0110] por AA.
p(λ)=determinante([0110]-λI2)p(λ)=determinante([0110]−λI2)
Paso 1.3.2
Sustituye [1001][1001] por I2I2.
p(λ)=determinante([0110]-λ[1001])p(λ)=determinante([0110]−λ[1001])
p(λ)=determinante([0110]-λ[1001])p(λ)=determinante([0110]−λ[1001])
Paso 1.4
Simplifica.
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Paso 1.4.1.1
Multiplica -λ−λ por cada elemento de la matriz.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ0λ−λ⋅0−λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica -λ⋅0−λ⋅0.
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica 00 por -1−1.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00λ-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ00λ−λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica 00 por λλ.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ00−λ⋅1])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=determinante([0110]+[−λ00−λ⋅1])
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica -1−1 por 11.
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ])p(λ)=determinante([0110]+[−λ00−λ])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ])p(λ)=determinante([0110]+[−λ00−λ])
p(λ)=determinante([0110]+[-λ00-λ])p(λ)=determinante([0110]+[−λ00−λ])
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
p(λ)=determinante[0-λ1+01+00-λ]
Paso 1.4.3
Simplify each element.
Paso 1.4.3.1
Resta λ de 0.
p(λ)=determinante[-λ1+01+00-λ]
Paso 1.4.3.2
Suma 1 y 0.
p(λ)=determinante[-λ11+00-λ]
Paso 1.4.3.3
Suma 1 y 0.
p(λ)=determinante[-λ110-λ]
Paso 1.4.3.4
Resta λ de 0.
p(λ)=determinante[-λ11-λ]
p(λ)=determinante[-λ11-λ]
p(λ)=determinante[-λ11-λ]
Paso 1.5
Find the determinant.
Paso 1.5.1
El determinante de una matriz 2×2 puede obtenerse usando la fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=-λ(-λ)-1⋅1
Paso 1.5.2
Simplifica cada término.
Paso 1.5.2.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
p(λ)=-1⋅-1λ⋅λ-1⋅1
Paso 1.5.2.2
Multiplica λ por λ sumando los exponentes.
Paso 1.5.2.2.1
Mueve λ.
p(λ)=-1⋅-1(λ⋅λ)-1⋅1
Paso 1.5.2.2.2
Multiplica λ por λ.
p(λ)=-1⋅-1λ2-1⋅1
p(λ)=-1⋅-1λ2-1⋅1
Paso 1.5.2.3
Multiplica -1 por -1.
p(λ)=1λ2-1⋅1
Paso 1.5.2.4
Multiplica λ2 por 1.
p(λ)=λ2-1⋅1
Paso 1.5.2.5
Multiplica -1 por 1.
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a 0 para obtener los valores propios λ.
λ2-1=0
Paso 1.7
Resuelve λ
Paso 1.7.1
Suma 1 a ambos lados de la ecuación.
λ2=1
Paso 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√1
Paso 1.7.3
Cualquier raíz de 1 es 1.
λ=±1
Paso 1.7.4
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 1.7.4.1
Primero, usa el valor positivo de ± para obtener la primera solución.
λ=1
Paso 1.7.4.2
Luego, usa el valor negativo de ± para obtener la segunda solución.
λ=-1
Paso 1.7.4.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
Paso 3
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([0110]-[1001])
Paso 3.2
Simplifica.
Paso 3.2.1
Resta los elementos correspondientes.
[0-11-01-00-1]
Paso 3.2.2
Simplify each element.
Paso 3.2.2.1
Resta 1 de 0.
[-11-01-00-1]
Paso 3.2.2.2
Resta 0 de 1.
[-111-00-1]
Paso 3.2.2.3
Resta 0 de 1.
[-1110-1]
Paso 3.2.2.4
Resta 1 de 0.
[-111-1]
[-111-1]
[-111-1]
Paso 3.3
Find the null space when λ=1.
Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-1101-10]
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
Paso 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-1⋅1-01-10]
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica R1.
[1-101-10]
[1-101-10]
Paso 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Paso 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-101-1-1+10-0]
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica R2.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
Paso 4
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
N([0110]+[1001])
Paso 4.2
Simplifica.
Paso 4.2.1
Suma los elementos correspondientes.
[0+11+01+00+1]
Paso 4.2.2
Simplify each element.
Paso 4.2.2.1
Suma 0 y 1.
[11+01+00+1]
Paso 4.2.2.2
Suma 1 y 0.
[111+00+1]
Paso 4.2.2.3
Suma 1 y 0.
[1110+1]
Paso 4.2.2.4
Suma 0 y 1.
[1111]
[1111]
[1111]
Paso 4.3
Find the null space when λ=-1.
Paso 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[110110]
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 4.3.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Paso 4.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1101-11-10-0]
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica R2.
[110000]
[110000]
[110000]
Paso 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
0=0
Paso 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-yy]
Paso 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-11]
Paso 4.3.6
Write as a solution set.
{y[-11]|y∈R}
Paso 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-11]}
{[-11]}
{[-11]}
Paso 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11],[-11]}