Ejemplos

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ como una ecuación.

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Paso 2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

Paso 3

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

Paso 4

Completa el cuadrado.

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Paso 4.1

Reordena $- 3 x$ y $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

Paso 4.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = - 3$

$c = 0 = y - 7$

Paso 4.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

Paso 4.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{4}$

Paso 4.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Paso 4.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{8}$

Paso 4.5.2.2

Resta $\frac{9}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{8}$

Paso 4.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\frac{9}{8}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

Paso 5.2

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

Paso 5.3

Combina $- 7$ y $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 7$ por $8$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

Paso 5.5.2

Suma $- 56$ y $9$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

Paso 5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

Paso 6

Divide cada término en $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ por $2$ .

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide ${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ por $1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{47}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

Paso 6.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Para escribir $\frac{y}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

Paso 7.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{y}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

Paso 7.4

Mueve $8$ a la izquierda de $y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

Paso 7.5

Reordena los términos.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

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