Trigonometrie Beispiele

$(6 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 6 \sqrt{2}$ und $θ = \frac{7 π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (6 \sqrt{2}) \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$x = 6 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 6 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 3 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9.5

Berechne den Exponenten.

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = 6$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 11

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$x = 6$

$y = 6 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 12

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 6$

$y = 6 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$x = 6$

$y = 6 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 6$

$y = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6$

$y = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 6$

$y = 3 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = 6$

$y = 3 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Schritt 14

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 6$

$y = - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 15

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 6$

$y = - 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 6$

$y = - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 17

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 6$

$y = - 3 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 18

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 18.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 6$

$y = - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 18.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 18.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 18.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2$

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2$

Schritt 18.5

Berechne den Exponenten.

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2$

$x = 6$

$y = - 3 \cdot 2$

Schritt 19

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$x = 6$

$y = - 6$

Schritt 20

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(6 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$ ist $(6, - 6)$ .

$(6, - 6)$