Trigonometrie Beispiele

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ und $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ankathete : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 2.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

Schritt 2.10.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.10.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.10.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{2}{\sqrt{2}}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \sqrt{2} \approx - 1.41421356$