Trigonometrie Beispiele

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ und $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{1}{2}$

Ankathete : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 2.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

Schritt 2.10

Addiere $3$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.11

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.12

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 \cdot 2)$

Schritt 4.3

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\csc (θ) = - 2$