Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{p^{2} + 1} = 5$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{p^{2} + 1}}^{2} = 5^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{p^{2} + 1}$ als ${(p^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(p^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(p^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(p^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(p^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(p^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(p^{2} + 1)}^{1} = 5^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$p^{2} + 1 = 5^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$p^{2} + 1 = 25$

Schritt 3

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $p$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p^{2} = 25 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$p^{2} = 24$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$p = \pm \sqrt{24}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{24}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$p = \pm \sqrt{4 (6)}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$p = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p = \pm 2 \sqrt{6}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$p = 2 \sqrt{6}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$p = - 2 \sqrt{6}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$p = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$p = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Dezimalform:

$p = 4.89897948 \dots, - 4.89897948 \dots$