Trigonometrie Beispiele

$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4 π}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.4.2

Faktorisiere $π$ aus $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ heraus.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.5

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $r^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4 r^{3}}{3}$ .

$\frac{3 (4 r^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.7

Multipliziere.

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Schritt 2.1.1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.1.1.8.2

Dividiere $r^{3}$ durch $1$ .

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $\frac{4}{3} π$ heraus.

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (36 π)$

Schritt 2.2.1.1.2

Faktorisiere $π$ aus $36 π$ heraus.

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

Schritt 2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3}} \cdot 36$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{\frac{4}{3}}$ und $36$ .

$r^{3} = \frac{36}{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{3} = 36 (\frac{3}{4})$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$r^{3} = 4 (9) \frac{3}{4}$

Schritt 2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{3} = 4 \cdot 9 \frac{3}{4}$

Schritt 2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{3} = 9 \cdot 3$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$r^{3} = 27$

Schritt 3

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{3} - 27 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$r^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = r$ und $b = 3$ .

$(r - 3) (r^{2} + r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $r$ .

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 3 = 0$

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

Schritt 6

Setze $r - 3$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $r - 3$ gleich $0$ .

$r - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 3$

Schritt 7

Setze $r^{2} + 3 r + 9$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $r^{2} + 3 r + 9$ gleich $0$ .

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

Schritt 7.2

Löse $r^{2} + 3 r + 9 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$ wahr machen.

$r = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$