Trigonometrie Beispiele

$\frac{27^{2} - 12^{2} - 20^{2}}{- 2 (12) (20)} = \cos (B)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\cos (B) = \frac{27^{2} - 12^{2} - 20^{2}}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$ um.

$\cos (B) = \frac{27^{2} - 12^{2} - 20^{2}}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{27^{2} - 12^{2} - 20^{2}}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Potenziere $27$ mit $2$ .

$\cos (B) = \frac{729 - 12^{2} - 20^{2}}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\cos (B) = \frac{729 - 1 \cdot 144 - 20^{2}}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$\cos (B) = \frac{729 - 144 - 20^{2}}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $20$ mit $2$ .

$\cos (B) = \frac{729 - 144 - 1 \cdot 400}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $400$ .

$\cos (B) = \frac{729 - 144 - 400}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.1.6

Subtrahiere $144$ von $729$ .

$\cos (B) = \frac{585 - 400}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.1.7

Subtrahiere $400$ von $585$ .

$\cos (B) = \frac{185}{- 2 \cdot 12 \cdot 20}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$\cos (B) = \frac{185}{- 24 \cdot 20}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $20$ .

$\cos (B) = \frac{185}{- 480}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $185$ und $- 480$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $185$ heraus.

$\cos (B) = \frac{5 (37)}{- 480}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 480$ heraus.

$\cos (B) = \frac{5 \cdot 37}{5 \cdot - 96}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (B) = \frac{5 \cdot 37}{5 \cdot - 96}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (B) = \frac{37}{- 96}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (B) = - \frac{37}{96}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$B = \arccos (- \frac{37}{96})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne $\arccos (- \frac{37}{96})$ .

$B = 1.96645565$

Schritt 5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$B = 2 (3.14159265) - 1.96645565$

Schritt 6

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.96645565$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$B = 6.2831853 - 1.96645565$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1.96645565$ von $6.2831853$ .

$B = 4.31672964$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (B)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (B)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$B = 1.96645565 + 2 π n, 4.31672964 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$