Trigonometrie Beispiele

$2.25 = - 0.75 \sin (2 π t) + 2.5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 0.75 \sin (2 π t) + 2.5 = 2.25$ um.

$- 0.75 \sin (2 π t) + 2.5 = 2.25$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (2 π t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 0.75 \sin (2 π t) = 2.25 - 2.5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2.5$ von $2.25$ .

$- 0.75 \sin (2 π t) = - 0.25$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 0.75 \sin (2 π t) = - 0.25$ durch $- 0.75$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.75 \sin (2 π t) = - 0.25$ durch $- 0.75$ .

$\frac{- 0.75 \sin (2 π t)}{- 0.75} = \frac{- 0.25}{- 0.75}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.75$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.75 \sin (2 π t)}{- 0.75} = \frac{- 0.25}{- 0.75}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (2 π t)$ durch $1$ .

$\sin (2 π t) = \frac{- 0.25}{- 0.75}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $- 0.25$ durch $- 0.75$ .

$\sin (2 π t) = 0.\overline{3}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 π t = \arcsin (0.\overline{3})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arcsin (0.\overline{3})$ .

$2 π t = 0.3398369$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 0.3398369$ durch $2 π$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 0.3398369$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{0.3398369}{2 π}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{0.3398369}{2 π}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π t}{π} = \frac{0.3398369}{2 π}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π t}{π} = \frac{0.3398369}{2 π}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{0.3398369}{2 π}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{0.3398369}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{0.3398369}{6.2831853}$

Schritt 6.3.3

Dividiere $0.3398369$ durch $6.2831853$ .

$t = 0.05408672$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 π t = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 8

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $0.3398369$ von $3.14159265$ .

$2 π t = 2.80175574$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 2.80175574$ durch $2 π$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 2.80175574$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{2.80175574}{2 π}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{2.80175574}{2 π}$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π t}{π} = \frac{2.80175574}{2 π}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π t}{π} = \frac{2.80175574}{2 π}$

Schritt 8.2.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{2.80175574}{2 π}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{2.80175574}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{2.80175574}{6.2831853}$

Schritt 8.2.3.3

Dividiere $2.80175574$ durch $6.2831853$ .

$t = 0.44591327$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (2 π t)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $2 π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

Schritt 9.3

$2 π$ ist ungefähr $6.2831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{π}$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (2 π t)$ ist $1$ , d. h., Werte werden sich alle $1$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 0.05408672 + n, 0.44591327 + n$ , für jede Ganzzahl $n$