Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 4 \cos (x - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 4 \cos (x - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ um.

$- 4 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - \frac{π}{2})}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos (x - \frac{π}{2})}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x - \frac{π}{2})$ durch $1$ .

$\cos (x - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$\cos (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π + π}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Addiere $π$ und $π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.5.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 1.2.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.7.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.7.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.7.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.7.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 π + π}{2}$

Schritt 1.2.7.2.3

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{2}$

Schritt 1.2.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.7.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{2}$

Schritt 1.2.7.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.7.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Schritt 1.2.7.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.7.2.4.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$x = 2 π$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Periode von $\cos (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.9

Die Periode der Funktion $\cos (x - \frac{π}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 4 \cos ((0) - \frac{π}{2})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 4 \cos (0 - \frac{π}{2})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 4 \cos ((0) - \frac{π}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- 4 \cos ((0) - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von $0$ .

$y = - 4 \cos (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.2.3.2

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$y = - 4 \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 2.2.3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$y = - 4 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 2.2.3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$y = - 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4