Trigonometrie Beispiele

$A = 60 °$ $b = 9$ $a = 16$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{9} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $9 \frac{\sin (60 °)}{16}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (60 °)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{16}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (B) = 9 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16})$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{16}$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\sqrt{3}}{32}$

Schritt 3.2.2.1.4

Kombiniere $9$ und $\frac{\sqrt{3}}{32}$ .

$\sin (B) = \frac{9 \sqrt{3}}{32}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{32})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{32})$ .

$B = 29.15272817$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 29.15272817$

Schritt 3.6

Subtrahiere $29.15272817$ von $180$ .

$B = 150.84727182$

Schritt 3.7

Die Lösung der Gleichung $B = 29.15272817$ .

$B = 29.15272817, 150.84727182$

Schritt 3.8

Schließe den ungültigen Winkel aus.

$B = 29.15272817$

Schritt 4

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$60 ° + C + 29.15272817 = 180$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $60 °$ und $29.15272817$ .

$C + 89.15272817 = 180$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $89.15272817$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 89.15272817$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $89.15272817$ von $180$ .

$C = 90.84727182$

Schritt 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $c$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (90.84727182)}{c} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $c$ auf.

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Schritt 8.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Berechne $\sin (90.84727182)$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Schritt 8.1.2

Der genau Wert von $\sin (60 °)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{16}$

Schritt 8.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$ .

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{16}$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$

Schritt 8.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$c, 32$

Schritt 8.2.2

Da $c, 32$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 32$ und anschließend für den variablen Teil $c^{1}$ .

Schritt 8.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 8.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 8.2.5

Die Primfaktoren von $32$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 8.2.5.1

$32$ hat Faktoren von $2$ und $16$ .

$2 \cdot 16$

Schritt 8.2.5.2

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Schritt 8.2.5.3

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 8.2.5.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 8.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 8.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 8.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 8.2.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 \cdot 2$

Schritt 8.2.6.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32$

Schritt 8.2.7

Der Teiler von $c^{1}$ ist $c$ selbst.

$c^{1} = c$

$c$ occurs $1$ time.

Schritt 8.2.8

Das kgV von $c^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$c$

Schritt 8.2.9

Das kgV von $c, 32$ ist der numerische Teil $32$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$32 c$

Schritt 8.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$ mit $32 c$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$ mit $32 c$ .

$\frac{0.99989066}{c} (32 c) = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 \frac{0.99989066}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.2.2

Multipliziere $32 \frac{0.99989066}{c}$ .

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Schritt 8.3.2.2.1

Kombiniere $32$ und $\frac{0.99989066}{c}$ .

$\frac{32 \cdot 0.99989066}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.2.2.2

Mutltipliziere $32$ mit $0.99989066$ .

$\frac{31.99650125}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 8.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{31.99650125}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 8.3.3.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 c$ heraus.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 (c))$

Schritt 8.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Schritt 8.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$31.99650125 = \sqrt{3} c$

Schritt 8.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 8.4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3} c = 31.99650125$ um.

$\sqrt{3} c = 31.99650125$

Schritt 8.4.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} c = 31.99650125$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} c = 31.99650125$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 8.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.4.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.4.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.4.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.4.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.4.2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.4.2.3.3

Mutltipliziere $31.99650125$ mit $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{55.41956583}{3}$

Schritt 8.4.2.3.4

Dividiere $55.41956583$ durch $3$ .

$c = 18.47318861$

Schritt 9

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 60 °$

$B = 29.15272817$

$C = 90.84727182$

$a = 16$

$b = 9$

$c = 18.47318861$