Trigonometrie Beispiele

$a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(4)}^{2} + {(5)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (4) (5)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{16 + 5^{2} - 3^{2}}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{16 + 25 - 3^{2}}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{16 + 25 - 1 \cdot 9}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$A = \arccos (\frac{16 + 25 - 9}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.5

Addiere $16$ und $25$ .

$A = \arccos (\frac{41 - 9}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $9$ von $41$ .

$A = \arccos (\frac{32}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$A = \arccos (\frac{32}{8 \cdot 5})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$A = \arccos (\frac{32}{40})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $40$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$A = \arccos (\frac{8 (4)}{40})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$A = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{4}{5})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{4}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(3)}^{2} + {(5)}^{2} - {(4)}^{2}}{2 (3) (5)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 5^{2} - 4^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 4^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 1 \cdot 16}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 16}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.5

Addiere $9$ und $25$ .

$B = \arccos (\frac{34 - 16}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $16$ von $34$ .

$B = \arccos (\frac{18}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$B = \arccos (\frac{18}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$B = \arccos (\frac{18}{30})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $30$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$B = \arccos (\frac{6 (3)}{30})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$B = \arccos (\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{3}{5})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{3}{5})$ .

$B = 53.13010235$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$36.86989764 + C + 53.13010235 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $36.86989764$ und $53.13010235$ .

$C + 90 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 90$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$C = 90$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$