Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Schritt 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{11 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{11 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cos (2 θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\cos (2 θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 8.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{12} + π (0)$

Schritt 8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $\frac{π}{12}$ und $0$ .

$\frac{π}{12}$

Schritt 8.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Schritt 8.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{11 π}{12} + π (0)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{11 π}{12} + 0$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $\frac{11 π}{12}$ und $0$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 8.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{11 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}$

Schritt 8.3

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.3.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{12} + π (1)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Schritt 8.3.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Schritt 8.3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Schritt 8.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Schritt 8.3.2.4.2

Addiere $π$ und $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{13 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{11 π}{12} + π (1)$

Schritt 8.4.2

Vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{11 π}{12} + π$

Schritt 8.4.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 8.4.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.4.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Schritt 8.4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11 π + π \cdot 12}{12}$

Schritt 8.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.2.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{11 π + 12 \cdot π}{12}$

Schritt 8.4.2.4.2

Addiere $11 π$ und $12 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Schritt 8.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{23 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{23 π}{12}$