Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 7.4

Vereinfache $π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 7.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 8.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 8.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 8.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $\frac{π}{3} + 2 π n$ und $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Führe $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 11.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 11.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{3} + π (0)$

Schritt 11.1.2

Vereinfache.

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Schritt 11.1.2.2

Addiere $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 11.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 11.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 11.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

Schritt 11.2.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $\frac{2 π}{3}$ und $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 11.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Schritt 11.3

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 11.3.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{3} + π (1)$

Schritt 11.3.2

Vereinfache.

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Schritt 11.3.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

Schritt 11.3.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.3.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Schritt 11.3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

Schritt 11.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

Schritt 11.3.2.4.2

Addiere $π$ und $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 11.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Schritt 11.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 11.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

Schritt 11.4.2

Vereinfache.

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Schritt 11.4.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

Schritt 11.4.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.4.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.4.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Schritt 11.4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

Schritt 11.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

Schritt 11.4.2.4.2

Addiere $2 π$ und $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$