Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Ersetze die $2 \cos^{2} (x)$ durch $2 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 u^{2} - u + 1$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Schritt 5.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 u^{2}) - u$ heraus.

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 7

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 10

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Schritt 12

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 12.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 13.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 13.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 13.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 13.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 13.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 13.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 13.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 13.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 16.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Schritt 16.1.2

Vereinfache.

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Schritt 16.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 16.1.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 π (0)$ heraus.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 16.1.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 16.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 16.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 16.1.2.1.1.2.4

Dividiere $2 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Schritt 16.1.2.1.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 16.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Schritt 16.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 16.1.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 16.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 16.2

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.2.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache.

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Schritt 16.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 16.2.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 16.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 16.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Schritt 16.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Schritt 16.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Schritt 16.2.2.5.2

Addiere $π$ und $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 16.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 16.3

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.3.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Schritt 16.3.2

Vereinfache.

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Schritt 16.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 16.3.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 16.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 16.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Schritt 16.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Schritt 16.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Schritt 16.3.2.5.2

Addiere $π$ und $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Schritt 16.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 16.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Schritt 16.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.3.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Schritt 16.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Schritt 16.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 16.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$