Trigonometrie Beispiele

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arcsec (- 2)$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 θ$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Schritt 5

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 θ$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{3}{2}$ ist ungefähr $1.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3}$

Schritt 7.5

Multipliziere $2 π \frac{2}{3}$ .

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Schritt 7.5.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sec (\frac{3 θ}{2})$ ist $\frac{4 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{4 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 9.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache.

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Schritt 9.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.1.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $4 π (0)$ heraus.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 9.1.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 9.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 9.1.2.1.1.2.4

Dividiere $4 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Schritt 9.1.2.1.2

Multipliziere $4 π (0)$ .

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Schritt 9.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

Schritt 9.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{4 π}{9} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $\frac{4 π}{9}$ und $0$ .

$\frac{4 π}{9}$

Schritt 9.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{4 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Schritt 9.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $4 π (0)$ heraus.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 9.2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 9.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 9.2.2.1.1.2.4

Dividiere $4 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Schritt 9.2.2.1.2

Multipliziere $4 π (0)$ .

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Schritt 9.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

Schritt 9.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{8 π}{9} + 0$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $\frac{8 π}{9}$ und $0$ .

$\frac{8 π}{9}$

Schritt 9.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{8 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

Schritt 9.3

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.3.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 9.3.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

Schritt 9.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

Schritt 9.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

Schritt 9.3.2.5.2

Addiere $4 π$ und $12 π$ .

$\frac{16 π}{9}$

Schritt 9.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{16 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$