Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ > \arcsin (0)$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$θ > 0$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - 0$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$θ = π$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 1.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < θ < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < θ < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 2$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9.1.2

Ersetze $θ$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) > 0$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9.2

Teste einen Wert im Intervall $π < θ < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < θ < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$θ = 5$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9.2.2

Ersetze $θ$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) > 0$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch und $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.9.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < θ < π$ Wahr

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

$0 < θ < π$ Wahr

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

Schritt 1.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $\cos (θ) < 0$

Schritt 2

Vereinfache die zweite Ungleichung.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ < \arccos (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ < \frac{π}{2}$

Schritt 2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = 3$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $θ$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $\cos (3) < 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 0.98999249$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and True

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $θ = 6$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $θ$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $\cos (6) < 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $0.96017028$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and False

Schritt 2.9.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falsch

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falsch

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ und $\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Schritt 3