Trigonometrie Beispiele

$(\frac{2}{5}, - \frac{\sqrt{21}}{5})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{2}{5}, - \frac{\sqrt{21}}{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{2}{5}, 0)$ und $(\frac{2}{5}, - \frac{\sqrt{21}}{5})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{\sqrt{21}}{5}$

Ankathete : $\frac{2}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{2^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{21}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{21}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{25} + {(- \frac{\sqrt{21}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{21}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{25} + 1 \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{21^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{21^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{21^{1}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{21}{5^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{21}{25}}$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + 21}{25}}$

Schritt 2.7.3

Addiere $4$ und $21$ .

$\sqrt{\frac{25}{25}}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $25$ durch $25$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.7.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{21}}{5}}{1}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{21}}{5}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $- \frac{\sqrt{21}}{5}$ durch $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{21}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{21}}{5} \approx - 0.91651513$