Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{3}, 0)$ und $(\frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Ankathete : $\frac{1}{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3^{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{9}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{8}{9}}$

Schritt 2.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 8}{9}}$

Schritt 2.6.4

Addiere $1$ und $8$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Schritt 2.6.5

Dividiere $9$ durch $9$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.6.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{1}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \approx 0.94280904$