Trigonometrie Beispiele

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$ und $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ankathete : $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{6^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{6}{3^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{6}{9}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3 (2)}{9}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 2}{3}}$

Schritt 2.9.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.9.3

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.9.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{\sqrt{6}}{3}$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.81649658$