Trigonometrie Beispiele

$(\arctan (\frac{5}{x}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{5}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}$ .

$\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{5 x^{- 2}}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{(1 + {(\frac{5}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{x}$ an.

$- \frac{5}{(1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{5}{1 x^{2} + \frac{5^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{5^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{25}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $\frac{25}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{25 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{25 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.3.4.2

Dividiere $25$ durch $1$ .

$- \frac{5}{x^{2} + 25}$